Demonstração do teorema fundamental do cálculo

RKA2G - Vamos dizer que nós temos uma função "f", que é contínua, no intervalo indo de "a" até "b". Se traçarmos o gráfico dessa função, teríamos algo mais ou menos desta forma. Aqui teríamos o "y", aqui a gente teria o eixo "t" e aqui a gente teria a função, em que essa função seria y = f(t). Eu falei que "f" é contínua dentro desse intervalo indo de "a" até "b", então, aqui a gente tem o ponto "a" e aqui temos o ponto "b". Nós teríamos f(a) aqui, f(b) aqui e aqui teríamos toda esta área abaixo desta curva. Agora que já temos isto, vamos fazer o seguinte: vamos dizer que a gente tenha uma função F(x) em que essa função F(x) seja igual à integral indo de "a" até um ponto "x" qualquer de f(t) dt. Bem, esta é a função f(t). E estamos dizendo que F(x) é igual à integral indo de "a" até um ponto "x" de f(t) dt, onde esse "x" está dentro desse intervalo indo de "a" até "b". Então, vamos dizer que a gente tenha aqui um ponto "x", em que esse "x" está dentro desse intervalo. Vamos escrever isso: onde "x" é maior ou igual a "a" e que é menor ou igual a "b". "x" está dentro desse intervalo indo de "a" até "b". Você poderia até me dizer agora: "Olha só, professor, aqui a gente tem que esta integral é a antiderivada desta função, não é?" Mas vamos assumir, por um pequeno momento, que a gente não sabe disso. Afinal de contas, é o que nós estamos querendo demonstrar neste vídeo. Por outro lado, sabemos que esta integral corresponde a quê? À área abaixo da curva em relação a esta função y = f(t), isto indo do intervalo "a" até "x". Então, o resultado desta integral que corresponde à área vai de "a" até "x", esta área aqui. É a partir desta ideia é que a gente vai chegar à conclusão de que a integral de uma função é igual à sua antiderivada. Mas vamos dizer que agora a gente queira calcular a derivada desta função. Nós vamos ter F'(x) sendo igual a... Como é que a gente calcula a derivada pela definição? A derivada desta função é igual ao limite de Δx tendendo a zero de F(x + Δx), menos F(x), tudo isso dividido por Δx. Temos que a derivada de uma função é igual ao limite de Δx tendendo a zero de F(x + Δx) - F(x), sobre Δx. Isto vai ser igual a o quê? Sabemos que F(x) é igual a esta integral. Então, F(x + Δx) vai ser igual à integral de f(t) dt indo de "a" até (x + Δx) e F(x) é esta própria integral aqui. Podemos até colocar que isto é igual ao limite de Δx tendendo a zero da integral indo de "a" até (x + Δx) de f(t) dt - F(x), que é a integral indo de "a" até "x" de F(t) dt, tudo isso dividido pelo Δx. Mas o que representa isto? Sabemos que a integral de uma função é a área abaixo da curva. Como estamos querendo integrar de zero até (x + Δx), e aqui a gente tem o "x", então, (x + Δx) está um pouco à frente de "x". E antes de "b", claro. Tem que estar definido neste intervalo. Tudo tem que estar definido neste intervalo, ser contínuo neste intervalo. Então, temos aqui (x + Δx). Quando calculamos a integral indo de zero a (x + Δx) desta função f(t) dt, temos toda esta área aqui, que vai desde "a" até (x + Δx), abaixo desta curva. Toda esta área verde corresponde ao resultado desta integral. E nós já vimos antes que o resultado desta integral f(t) dt indo de "a" até "x" é esta área azul aqui. Quando calculamos essa diferença entre estas integrais, estamos pegando toda esta área aqui e tirando esta parte da área. Então, na verdade, a gente vai ter esta área aqui, que vai de "x" até (x + Δx). O resultado da diferença entre estas integrais vai nos dar como resposta esta pequena área. C, como observamos aqui, a gente pode dizer que esta área vai ser igual à integral indo de "x" até (x + Δx) da função f(t) dt. Esta área nós podemos dizer que é igual à integral indo de "x" a (x + Δx) de f(t) dt. Logo, a derivada desta função, ou seja, F'(x), é igual ao limite de Δx tendendo a zero de 1/Δx, vezes a integral indo de "x" até (x + Δx) de f(t) dt. Esta expressão é muito interessante porque ela lembra alguma coisa. Ela lembra o teorema do valor intermediário. Mas o que seria este teorema do valor intermediário? O teorema do valor intermediário... Vou escrever aqui. O teorema do valor intermediário das integrais definidas diz que existe um "c", e o que seria este "c"? Este "c" seria um ponto que estivesse mais ou menos aqui. Então, a gente teria que um ponto "c", um t = c. Só que esse "c" tem que estar dentro desse intervalo de "x" até (x + Δx). Vamos escrever isso também: onde "c" tem que ser maior ou igual a "x" e menor ou igual a (x + Δx). "c" tem que estar definido dentro deste intervalo. O teorema do valor intermediário das integrais definidas diz que existe um "c", que está definido neste intervalo, tal que f(c)... O que seria f(c)? Se a gente pegar que esse ponto "c" e calcular aqui na função, vamos encontrar este f(c). Aqui vai estar o f(c), que vai encontrar a função neste ponto. Então, aqui vai estar o ponto (c, f(c)). E claro, obviamente, aqui tem uma certa altura. E essa altura é igual ao próprio f(c). E aqui nós temos uma base. Essa base corresponde exatamente a Δx, já que aqui temos "x" e, aqui, (x + Δx). Esta base é Δx. Se pegamos essa função f(c) e multiplicamos por Δx... Vamos multiplicar aqui, f(c) vezes Δx. Nós teremos algo igual à área abaixo desta curva. Então, todas as vezes que a gente pegar este ponto "c", pegar essa função f(c) e multiplicar por Δx, que é a base desta figura formada aqui, vamos encontrar algo exatamente igual à área abaixo da curva neste intervalo entre "x" e (x + Δx). E como a gente calcula a área baixo desta curva? A área abaixo desta curva vai ser igual à integral indo de "x" até (x + Δx) da função f(t) dt. É isso que o teorema do valor intermediário diz: diz que existe esse "c", definido no intervalo indo de "x" até (x + Δx), em que, se a gente pegar esta função f(c) e multiplicar por esta base Δx, vamos encontrar a área abaixo da curva nesse intervalo. E a área abaixo da curva nesse intervalo é igual à integral indo de "x" até (x + Δx) de f(t) dt. Uma outra forma de escrever esse teorema do valor intermediário é dizer que f(c) é igual a 1/Δx, vezes a integral indo de "x" até (x + Δx) de f(t) dt. E, se você prestar bem atenção, vai ver que, de fato, isso faz muito sentido porque, se você quer esta função, em que esta função é o valor médio neste intervalo, você vai pegar toda área abaixo da curva, que é isto, e vai dividir pela base, que é o Δx. Assim, você vai encontrar esta função f(c), que é o valor médio. E é interessante ver isso porque tudo isto é exatamente igual a esta parte. Com isso, podemos dizer que a derivada de F(x) vai ser igual ao limite de Δx tendendo a zero de toda esta parte aqui, em que tudo isto é igual a f(c). E o motivo de a gente poder fazer isso é exatamente devido a isto, em que este "c" está definido no intervalo indo de "x" até (x + Δx). Vamos escrever tudo isso. Vamos escrever que existe um "c" no intervalo indo de "x" até (x + Δx), onde nós temos que a derivada de F(x) é igual ao limite de Δx tendendo a zero de f(c), já que, neste intervalo indo de "x" até (x + Δx), 1/Δx vezes a integral indo de "x" até (x + Δx) de f(t) dt é igual a f(c). Vamos fazer alguns comentários agora sobre esses limites. Vamos voltar aqui em cima. A gente sabe que "c" está dentro deste intervalo. E estamos querendo calcular o limite quando Δx tende a zero. Quando Δx tende a zero, estamos falando que esta barra vertical está indo para a esquerda. Se esta barra está indo para a esquerda, ou seja, se aproximando cada vez mais desta parte azul, e o "c" está dentro deste intervalo, o "c" também vai se aproximar do "x". Dessa forma, podemos dizer que "c" está tendendo a "x", ou seja, se aproximando de "x", quando Δx está tendendo a zero. Podemos até falar isso de forma intuitiva porque, se você observar aqui, à medida que esta barra amarela está se aproximando da barra azul, ou seja, quando (x + Δx) está tendendo a "x", o "c" que está aqui no meio também está tendendo a "x". Assim, à medida que isso ocorre, a função f(c) também vai tender a f(x). Então, podemos dizer que f(c) vai tender a f(x) quando Δx está tendendo a zero, já, que se o "c" está se aproximando do "x", o f(c) também vai se aproximar do f(x). Então, se, quando Δx tende a zero, o "c" está tendendo a "x" e o f(c) está tendendo a f(x), a gente pode simplesmente dizer que o limite, quando Δx tende a zero, de f(c), vai ser igual a f(x). Ok, você vai até me falar agora: "Ora, isso é algo intuitivo!" Mas, como estamos fazendo uma demonstração, será que existe uma forma mais segura de observar isso? Sim, a gente pode utilizar o teorema do confronto, dizendo o seguinte: que temos aqui o "x", sendo menor ou igual a uma função c(Δx) que é menor ou igual a (x + Δx). Desta forma, estamos dizendo que esta função c(Δx) está entre "x" e (x + Δx). A gente sabe que o limite de Δx tendendo a zero de "x" é igual ao próprio "x". Já que o "x" não depende de Δx, vai ser o próprio "x". E a gente também sabe que o limite de Δx tendendo a zero de (x + Δx), se Δx está tendendo a zero, o limite de (x + Δx) vai ser o próprio "x". Como a gente tem este limite sendo igual a "x", este limite sendo igual a "x" e a função c(Δx) está dentro deste intervalo, à medida que isto vai se aproximando do "x", e este, que é o próprio "x", a gente tem que o limite disto para quando Δx tende a zero vai ter que ser igual ao valor dos limites dos dois lados Se o limite do lado esquerdo é igual a "x" e o limite do lado direito é igual a "x", o teorema do confronto diz para a gente que o limite de Δx tendendo a zero de c(Δx) também tem que ser igual ao próprio "x". Por isso podemos falar que, se temos um limite de Δx tendendo a zero de f(c), isso vai ter que ser igual a f(x). Dessa forma, a gente consegue chegar a esta conclusão e fazer esta demonstração. Agora, já conseguimos utilizar todas essas ideias para fazer essa demonstração. E o que a gente fez aqui? Pegamos uma função contínua em um certo intervalo, definimos uma função que seja a integral dessa função contínua, indo de "a" até um ponto, ou seja, um certo intervalo, e aí utilizamos a definição de derivada para chegar a esta função F(x). Com isso, conseguimos falar que F'(x), ou seja, a derivada desta função, é igual a F(x). Com isso, estamos falando que existe uma função F(x), definida e contínua em um certo intervalo, em que essa função é igual à derivada de uma outra função. Ou seja, estamos praticamente falando que toda função contínua possui uma antiderivada, em que a antiderivada é igual à integral dessa função. Claro que, antes, a gente falava isso de forma intuitiva, mas é agora que fizemos a demonstração disso. E existe uma coisa muito importante nessa demonstração (e é por isso, inclusive, que é chamado de teorema fundamental do cálculo): que estas ideias relacionam o cálculo diferencial com o cálculo integral. Com isso, nós estamos relacionando a ideia de derivada com a ideia de integral. E, por mais que isso pareça óbvio, porque estávamos utilizando a todo momento, é devido a todo este processo que a gente consegue relacionar estes dois cálculos: o cálculo diferencial com o cálculo integral . Então, se existe uma função f(t), que seja contínua em um certo intervalo, nós podemos dizer que existe uma antiderivada dessa função em que a antiderivada vai nos dizer a área abaixo da curva dentro desse intervalo.