Somas trapezoidais

RKA4JL - Só por diversão, vamos tentar fazer uma aproximação da área abaixo da curva formada por y igual à raiz quadrada de (x – 1) indo de x igual a um até x igual a 6. O que eu quero aqui é encontrar toda essa área, ou pelo menos uma boa aproximação dela. A forma como eu vou fazer aqui é criando cinco trapézios de mesma largura. Este vai ser o limite à esquerda do primeiro trapézio e este outro ponto aqui vai ser o limite da direita, que também vai ser o limite à esquerda do segundo trapézio. Esse aqui vai ser o limite da direita do segundo trapézio e esse é o limite da direita do terceiro trapézio, esse de que o limite à direita do quarto trapézio e, finalmente, esse aqui vai ser o limite à direita do quinto trapézio. Como nós vamos observar o intervalo indo de 1 até 6, nós vamos dividir isso em cinco partes iguais. Dessa forma, a largura de cada um desses trapézios vai ser igual a 1. Mas só para pensar um pouco a respeito disso, vamos dizer que a largura de cada um desses trapézios seja igual a Δx [delta]. Já de cara, observando o gráfico, a gente sabe que o Δx vai ser igual a 1. Vamos observar todos os trapézios, começando pelo primeiro. A gente pode traçar um triângulo aqui. Isso não vai ser exatamente um trapézio, tudo bem? Aqui nós temos o segundo trapézio, que vai se parecer com isso. O terceiro trapézio será dessa forma, o quarto trapézio vai se parecer com isso aqui e por fim o quinto trapézio também vai ter essa forma. Nós vamos calcular a área de cada um deles. Assim nós vamos ter uma boa aproximação da área abaixo da curva. Então vamos lá, vamos fazer esse trapézio, ou nesse primeiro caso um triângulo, certo? Assim, qual vai ser a área desse primeiro trapézio? Para determinar a área de um trapézio, que nesse primeiro caso você vai ver se transformar na área de um triângulo, vai ser a média das alturas dos dois lados do trapézio que nós podemos dizer que é a média das alturas dos lados paralelos (eu acho que isso soa até um pouco melhor). Então nesse primeiro caso a gente vai ter f(1) mais f(2), tudo isso sobre 2, pois assim a gente consegue encontrar a média dessas duas alturas. Como nós queremos saber a área, basta multiplicar isso pelo nosso Δx. Nesse primeiro triângulo, como você pode observar, f(1) é igual a zero. Assim, a gente vai ter apenas f(2) vezes Δx sobre 2, e isso é a área de um triângulo. Vamos para o segundo trapézio agora. Qual vai ser a área desse segundo trapézio? Nós podemos fazer a mesma coisa. Nós vamos ter aqui f(2) mais f(3). f(2) é essa altura aqui, f(3) é essa outra altura, e então a gente vai pegar a média dessas duas alturas. Como? Dividindo por 2. Essa aqui é a média das duas alturas e para determinar a área basta multiplicar pela base, que nesse caso é Δx. Ou seja, (f(2) mais f(3) sobre 2) vezes Δx. Vamos partir agora para o terceiro trapézio. Eu acho que você já começou a pegar a ideia, não é? A área do trapézio três será igual a (f(3) mais f(4) dividido por 2) vezes Δx (acho que já comecei a ficar sem cor aqui. Estou usando todas as cores neste exemplo). Vamos para o quarto trapézio. A gente vai ter (f(4) mais f(5) dividido por 2) vezes Δx. E agora vamos para o último trapézio, que a gente vai fazer com a cor amarela. O trapézio número cinco (deixe-me descer um pouco para ter mais espaço) a gente vai ter aqui (deixe-me escrever aqui) (f(5) mais f(6) sobre 2) vezes Δx. Agora que a gente já tem uma aproximação da área, que é a soma da área de cada um desses trapézios, pelo menos uma aproximação da área de cada um desses trapézios, vamos tentar simplificar um pouco mais isso aqui embaixo. Nós temos em todos esses termos o Δx dividido por 2, certo? Então vamos colocar isso aqui para fora. Não se esqueça: como eu já falei, isso é uma aproximação da área. Então a gente tem que ler isso aqui como uma aproximação grosseira. Nós podemos até dizer que é uma boa aproximação porque nós estamos usando trapézios. Mas para ficar claro, nós estamos deixando um pouco da área de fora. Esta área aqui nós deixamos de fora. Vamos esquecer um pouco disso aqui; mal se vê tudo isso. Isso parece até ser subestimado, mas é uma aproximação decente. Voltando aqui, vamos ver como nós podemos simplificar essa expressão. Isso aqui, então, essa área vai ser aproximadamente igual... Deixe-me colocará em evidência esse Δx sobre 2. Então o que me resta vai ser todo o restante. Eu vou colocar com uma cor neutra. Aqui no primeiro termo a gente vai te f(1). Agora como a gente já colocou Δx sobre 2 em evidência, a gente pode somar esse f(2) com esse f(2). Assim a gente vai ter 2 vezes f(2). Você pode até ver que essa fórmula aparece em seu livro de cálculo, não é nada misterioso. Nos livros aparece apenas somando a área dos trapézios. Aqui nós vamos ter 2 f(3), já que temos f(3) mais f(3). Aqui também 2 f(4), já que nós vamos ter f(4) mais f(4). Aqui também a mesma coisa, 2 f(5), duas vezes f(5), e finalmente aqui 1 f(6), já que só aparece f(6) uma vez aqui. Generalizando isso a gente vai ter o primeiro ponto extremo, a função calculada na extremidade, e no último extremo também. No restante nós vamos ter sempre 2 vezes a função em cada um desses pontos. Isso aqui é a área dos trapézios. Eu não gosto muito quando os livros apenas escrevem isso, porque lendo isso fica muito difícil de visualizar que se trata de trapézios e quando você vê dessa forma aqui, tudo fica muito mais claro. Mas esquecendo isso, vamos calcular. Para a nossa sorte isso tudo é muito simples. A gente já falou que o Δx é igual a 1, não é? Então só vai restar o cálculo de tudo isso aqui. Vamos nos lembrar quanto vale f(1) da função original. Nossa função original era a raiz quadrada de (x menos 1). Assim, f(x) sendo igual a 1 vai ser igual a f da raiz quadrada de (1 menos 1). Logo isso vai ser igual a zero. Essa outra parte vai ser duas vezes a raiz quadrada de (2 menos 1) e a raiz quadrada de (2 menos 1) é 1 e assim a gente vai ter algo sendo igual a 2. Indo agora para f(3), nós vamos ter duas vezes a raiz quadrada de (3 menos 1) e a raiz quadrada de (3 menos 1) é igual à raiz quadrada de 2, então isso aqui vai ficar igual a 2 vezes a raiz quadrada de 2. Agora calculando a função em x igual a 4 nós temos 2 vezes a raiz quadrada de (4 menos 3), que é igual a 3. Então isso vai ser igual a 2 vezes a raiz quadrada de 3. Fazendo o mesmo cálculo, agora para x igual a 5, nós temos duas vezes a raiz quadrada de (5 menos 1). A raiz quadrada de (5 menos 1) é igual à raiz quadrada de 4, e a raiz quadrada de 4 é igual a 2. Então vamos ter duas vezes 2, que é igual a 4. E por último basta calcular a função em x igual a 6. Assim a gente vai ter a raiz quadrada de 6 menos 1, que é igual à raiz quadrada de 5. Agora eu acho que estamos prontos para calcular tudo isso aqui. Então vamos pegar a calculadora. Como nós temos aqui ½ multiplicando tudo isso, vamos colocar ½ vezes, abre parênteses, zero... Eu vou escrever isso aqui para a gente conseguir visualizar tudo. zero mais 2 mais 2 vezes a raiz quadrada de 2 mais 2 vezes a raiz quadrada de 3 (a gente já está quase terminando) mais 4 mais a raiz quadrada de 5. Isso aqui vai ser igual a 7,26. Então uma aproximação da área formada abaixo da curva y igual à raiz quadrada de (x menos 1), indo de x igual a 1 até x igual a 6 vai ser igual a 7,26. E nós fizemos isso utilizando os trapézios.