Expansão de frações parciais para cálculo da integral

RKA2G - Tente avaliar a seguinte integral. Assim, supondo que você tentou, vamos trabalhar juntos e, se você se inspirar, sinta-se livre para pausar o vídeo e continuar com isto por conta própria. A primeira coisa que você deve ter notado: temos aqui uma expressão racional. O grau do numerador é o mesmo que o grau do denominador. Então, talvez, a álgebra de divisão longa seja possível . Vamos fazer isso. Vamos pegar x² - 1 e dividi-lo em x². Vou colocar em uma cor diferente. Dividi-lo em x² + x - 5. Vamos olhar para os termo de maior grau. Quantas vezes x² cabe em x²? Uma vez. Deixe-me escrever isto em uma nova cor. 1 vezes x², menos 1 será x² - 1. Agora você subtrai esta expressão em verde por esta expressão roxa e eu poderia adicionar o negativo dele. Deixe-me tomar o negativo dele. x² - x² = 0. Eles se cancelam e ficaremos com "x". -5 + 1 = -4. Portanto, temos x - 4 sobrando. Podemos reescrever a expressão no qual tentamos encontrar a antiderivada. Podemos reescrever como: 1, mais (x - 4) sobre (x² - 1) Talvez faça na cor roxa, pois já usei isto em roxo. Então, fizemos uma coisa. Agora temos um menor grau no numerador do que temos no denominador. Obviamente, isso é bem simples, tomar a antiderivada. Mas o que fazemos agora? Não está claro se olharmos x² - 1. Sua derivada seria 2x, que tem o mesmo grau que isto, mas não é x - 4. Então, não parece que a substituição "u" irá nos ajudar com isto. O que podemos fazer agora? Podemos usar outra ferramenta em nosso kit de ferramentas algébricas. Faremos expansão em frações parciais, que é essencialmente escrever isto como a soma de duas expressões racionais que têm um grau menor no denominador. O que eu quero dizer com isso? Portanto, este termo aqui, podemos reescrever isto como x - 4, sobre... Em vez de x² - 1, poderemos fatorar isto. Isto é (x + 1) vezes (x - 1). Quando pensamos em expressão da fração parcial, dizemos o quê? Podemos reescrever como soma de algo. Mas chamar isto de A sobre (x + 1), alguma outra coisa, vamos chamar isto de B. Mais B sobre (x - 1). Podemos fazer isso? Para tentar fazer isto, se somássemos estas duas coisas, o que obteríamos? Encontraríamos um denominador comum, que seria (x + 1) vezes (x - 1). Assim, você teria... Se isto lhe parecer estranho, convido você a rever os vídeos de expansão em fração parcial, porque isto é exatamente o que estamos fazendo aqui. Mas seria igual se você adicionasse os dois. Seu denominador comum seria o produto. Portanto, seria (x + 1) vezes (x - 1). No primeiro termo, eu multiplicaria o numerador e o denominador vezes (x - 1). Portanto, seria A vezes (x - 1) + B... No segundo termo, eu multiplicaria o numerador e o denominador por (x + 1). Então, o que obtemos? Isto será igual a Ax... Talvez eu faça isto tudo de uma cor. Isto será igual a Ax - A + Bx + B. E depois, tudo isso sobre estas coisas que continuamos escrevendo. Na verdade, deixe-me copiar e colar isto. Copiar e colar, eu posso usar aquilo de novo. Portanto, temos isto sobre aquilo. Vamos ver agora se podemos agrupar os termos "x". Podemos reescrever isto como... Se tomarmos Ax + Bx, isto será (A + B) vezes "x". Então, temos um A negativo e um B. Mais (B - A)... E eu colocarei parênteses em torno disto só para agrupar estes termos constantes. Então, tudo isto será dividido por... Ainda bem que eu copiei e colei... (x + 1) vezes (x - 1). Agora, este é o ponto crucial da expansão em frações parciais. Dizemos o quê? Passamos por todo o exercício, na tese, que poderíamos fazer isto, que existe algum A e B para os quais isto é verdade. Portanto, se há algum A e B para os quais isto é verdade, então, (A + B) deve ser o coeficiente do termo "x". Então, (A + B) deve ser igual a 1. Deve ser igual a este coeficiente. E (B - A) deve ser igual à constante. Deve ser igual a 4 negativo. Se eles são, acharemos um A e um B. Vamos fazer isso. Farei isso aqui em cima, já que tenho pouco espaço. A + B será igual a 1 e B - A (ou eu poderia escrever como -A + B) é igual a -4. Poderíamos somar o lado esquerdo e o lado direito e, então, os A desapareceriam. Obteríamos 2B = -3, ou B = -3/2. Sabemos que A = 1 - B, e seria igual a 1 + 3/2, já que B é -3/2, que é igual a 5/2. A = 5/2 e B = -3/2. Assim, poderemos reescrever toda esta integral de uma forma que é um pouco mais fácil de tomar a antiderivada, ou toda esta expressão. Portanto, é mais fácil integrar. Seria a integral de (1 + A) sobre (x + 1). A é 5/2, então, posso escrever isto como: deixe-me escrever isto assim. 5/2 vezes (1/x + 1). Escrevi desta maneira porque é mais simples de tomar a antiderivada disto. Em seguida, B/x - 1, que será -3/2. Vou escrever isto como -3/2, vezes (1/x - 1), isto, dx. Foi isso aqui, dx. Observe que tudo o que eu fiz foi tomar esta expressão, bem aqui. E fiz um pouco de expansão de fração parcial nestas duas, acho que você poderia dizer, expressões ou termos. É bastante simples integrar isto. A antiderivada de 1 será "x". A antiderivada de 5/2 vezes (1/x + 1) será 5/2 vezes o logaritmo natural do valor absoluto de (x + 1). Conseguimos fazer isto pois a derivada de (x + 1) é 1. Então, a derivada está lá para que possamos tomar a antiderivada em relação a (x + 1). Você também pode fazer substituição "u", como nos exemplos anteriores. u = x + 1. E aqui, isto será -3/2 vezes o logaritmo natural absoluto de (x - 1), pela mesma lógica que fomos capazes de tomar a antiderivada lá. E, é claro, não podemos esquecer nossa constante. E aqui a temos. Fomos capazes de integrar. Conseguimos avaliar esta expressão.