If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:5:45

Substituição trigonométrica e integração por substituição juntas (parte 2)

Transcrição de vídeo

no último vídeo para avaliar a se integrarem definida primeiro fizemos uma substituição onde x é igual a três vezes sendo de teto é isso nos levou a uma integral com essa forma então fomos capazes de separar esses e no ce cossenos e de usar as entidades trigonométricas para chegar em uma forma onde pudéssemos fazer uma substituição por fizemos outra substituição onde fizemos como igual acontecendo de teta e finalmente conseguimos deixá lo em um formato adequado para mais uma substituição e desta vez foi uma substituição por conseguimos deixá la em uma forma para a qual podemos fazer antes dele fada e aqui encontramos a resposta final em termos de u agora temos que desfazer tudo isso temos que fazer as substituições a última substituição que fizemos nós iremos na ordem inversa fizemos o igual a conselho de teta então você poderia querer substituir o por cosseno de teta aqui mas então teríamos tudo em termos de cosseno detecta o que não nos dá x então o ideal seria expressar o em termos de x vamos ver como podemos fazer isso sabemos que um é igual ao conselho de teta conhecemos a relação entre x e teta está bem aqui x é igual a três vezes sendo de teta vamos escrever isto aqui sabemos que x é igual a três vezes o oceano de teta então se pudéssemos escrever cosseno deixe de escrever de forma diferente ou poderíamos dizer que x dividido por três é igual a cena de teta eu apenas dividir os dois lados por três então você pudesse fazer alguma forma expressar isso em termos de cena de teta poderíamos substituir todos os sinos de teta porches / 3 e pronto como podemos fazer isso vou mostrar duas técnicas para fazer isto a primeira é fazer a conversão ok o é igual a cosseno teta se eu quiser escrever isso em termos de cena de teta eu posso apenas dizer que isso é igual à de forma direta essa identidade trigonométrica mais fundamental cosseno de teta é a raiz quadrada de um - e no ao quadrado de teta vemos que sendo de teta é igual à x sobre três então isso é a raiz quadrada de 1 - x sobre três ao quadrado então esse é um em termos de x em todos os lugares que vimos o podemos substituir por essa expressão e praticamente acabamos teríamos isto escrito em termos de x agora temos essa outra técnica que você pode ver em algumas aulas de cálculo quando alguém diz ok nós sabemos que o é igual ao conselho de teto nós conhecemos essa relação como podemos expressar o tema cx iremos dizer vamos desenhar um triângulo reto irão desenhar um triângulo reto como este e dizer ok veja a cena de teta é x sobre três então se dissemos que esse é tá bem aqui serrano de teta vai ser a mesma coisa que o oposto sobre a hipotenusa oposto sobre poder usa é igual à x subir 3 então vamos dizer que isso é x então isso aqui é 3 então o senhor de teta vai ser x dividido por três assim olhamos para aquela primeira substituição ali mas para descobrir o que é o em termos de x precisamos descobrir o que aconselho de teta bem cosseno é o lado adjacente sobre poder usa então temos que descobrir com que o adjacente é bem podemos usar o teorema de pitágoras para isso o teorema de pitágoras diz que isso vai ser a raiz quadrada do quadrado da hipotenusa que é 9 - x ao quadrado então disso temos resolvido o triângulo retângulo em termos de x podemos perceber cosseno de teta vai ser igual ao lado do já sente vezes raiz quadrada de 9 - x ao quadrado / 3 que é o mesmo que um texto vezes a raiz quadrada de 9 - x ao quadrado que é o mesmo que se elevarmos um terço ao quadrado e colocarmos um radical então essencialmente vamos tirar a raiz um texto é o mesmo que a raiz quadrada de um nono então vamos escrever isso como a raiz quadrada de um nono vezes 9 - x ao quadrado basicamente apenas levamos um texto para dentro do radical agora é o nono agora isso vai ser o mesmo que é a raiz quadrada de 1 - x ao quadrado sobre 9 o que é exatamente isto aqui x ao quadrado sobre nove é o mesmo que x sobre três ao quadrado de qualquer forma você chega no mesmo resultado se eu uso a identidade trigonométrica bem aqui para expressar com cenas de teta em termos esse ano de teta então apenas faça a substituição para ser um pouco mais directo mas agora podemos apenas substituir na equação original nos dois e eu posso escrever isso em ambas as formas essa coisa aqui é o mesmo que é um - x ao quadrado sobre nove elevado a meio e isso é o que eu igual a e em todos os lugares que vemos o podemos substituir por isso então nossa resposta final em termos de x vai ser igual a 243 vezes o elevado a um quinto isso e levado a um quinto é um - x ao quadrado sobre 9 era levada meio mas levamos a um quinto agora vai ser levado a cinco meios sobre 5 - isso elevado ao cubo 11 - x ao quadrado sobre nove elevado a três meios elevado isso ao cubo é isso bem aqui sob três e tudo isso mas c e terminamos é bagunçado mas usando o primeiro substituição tribunal métrica então a substituição puro ou a substituição do tribunal médica e rearranjando usando algumas de nossas técnicas de manipulação desta potência de funções trigonométricas chegamos em uma forma onde podemos usar substituição puro então podemos desfazer todas as substituições e finalmente calcular o valor da integral