Integração por substituição: aplicação desafiadora

RKA8JV - Eu estava olhando o fórum de discussões da Khan Academy no Facebook, e o Antônio colocou este problema pedindo para ser resolvido. Parece ser um problema de interesse geral. Se a integral indefinida de 2ˡⁿˣ, tudo sobre "x" vezes "dx". E no quadro de mensagens, Francisco também postou uma solução, e está correta. Mas pensei que isto era de interesse geral. Então vou fazer um rápido vídeo sobre isso. A primeira coisa, quando vê uma integral como esta, é dizer: ei, eu tenho este "lnx" no numerador. Por onde eu começo? E a primeira coisa que talvez ocorra é que isto é a mesma coisa que a integral de (1/x)2ˡⁿˣdx. Então, você tem uma expressão aqui, ou parte da nossa função maior, e você tem a sua derivada, certo? Sabemos que a derivada, deixe-me escrever isto aqui. Sabemos que a derivada com relação a "x" do "lnx" é igual a 1/x. Portanto, temos uma expressão e temos a sua derivada, que não nos diz que podemos utilizar substituição. Você pode fazer isto de cabeça, mas este problema não é trivial assim. Então, vamos fazer a substituição. Vamos substituir isso aqui por "u". Então, vamos fazer isso. Você vai definir "u". Não precisa ser a letra "u", é apenas uma convenção. Ela é chamada de substituição "u". Poderia ser substituição "s", ou o que for. Vamos dizer que o "u = lnx", e depois du/dx é a derivada de "u" com relação a "x". E é claro, é igual a 1/x, ou apenas o diferencial "du", e se multiplicarmos ambos os lados por "dx". Será igual a "1/x dx". Vamos fazer nossa substituição. Esta é a nossa integral, portanto, isto será igual à integral indefinida, a antiderivada de 2ᵘ, então, 2ᵘ vezes 1/x dx. Agora, o que é "1/x dx"? É apenas "du". Então, este termo vezes aquele é apenas o nosso "du". Deixe-me fazer com uma cor diferente. 1/x vezes "dx" é apenas igual a "du", e isto é igual aquilo ali. Agora, isso ainda não se parece com uma integral fácil, embora mais simplificado. E para resolver, sempre que vejo a variável que estou integrando no expoente, não temos nenhuma regra fácil para o expoente. A única coisa com a qual estou familiarizado, onde tenho o meu "x", ou uma variável que eu estou integrando no meu expoente, é o caso de elevado eˣ. Sabemos a integral de "eˣdx = eˣ + c". Então, se eu pudesse, de alguma forma, transformar isto em alguma variação de eˣ, talvez eu possa tornar esta integral um pouco mais tratável. Então vamos ver. Como podemos redefinir isto aqui? Bem, 2 é igual a quê? 2 é a mesma coisa que eˡⁿ², certo? O ln2 é a potência que você tem para elevar "e" e obter 2. Então, se elevar "e" àquela potência, obterá 2. Isto é, na verdade, a definição de logaritmo natural, que você eleva "e" ao ln2. Você obterá 2. Vamos reescrever isso usando isto. Poderíamos chamar isto de reescrita, ou não quero chamar isto de substituição. É apenas uma maneira diferente de escrever o número 2, portanto, isso será igual a, em vez de escrever o número 2, eu poderia escrever eˡⁿ², e tudo isso elevado a "u", "du". E agora, isto é igual a quê? Bem, se eu elevo algo a um expoente e depois a outro expoente, isto é a mesma coisa que elevar minha base ao produto desses expoentes, portanto, isso é igual a, vou mudar de cor, isto é igual à integral de eᵘ. Deixe-me escrever desta forma. eˡⁿ²ᵘ. Só estou multiplicando esses 2 expoentes, e eu elevo algo a algo, e elevo novamente. Sabemos, pelas regras de exponenciação, que é apenas um produto de dois expoentes, "du". Agora, isso é apenas um fator constante, bem aqui. Isso poderia ser, você sabe, apenas um número. Poderíamos usar uma calculadora para descobrir, poderíamos definir, isto é igual a "a". Mas sabemos que, em geral, a integral é bastante direta. Nós, agora, colocaremos desta forma. A antiderivada de "eᵃᵘ du" é apenas 1/a vezes eᵃᵘ. Isto vem desta definição aqui em cima, e é claro, mais "c", e a regra da cadeia. Se tornarmos a derivada disso, tomamos a derivada do interior, que será apenas "a", multiplicamos isto por 1/a, então, podemos cancelar, restando apenas eᵃᵘ. Isto definitivamente funciona. Assim, a antiderivada disso será igual a um número sobre o nosso "a", será um número sobre nosso termo constante, 1 sobre o ln2 vezes toda a nossa expressão "e". Eu farei uma coisa, e isso é apenas algum número vezes "u", logo, posso escrevê-lo como "u" vezes algum número. Estou fazendo isso para colocá-lo de uma forma que possamos nos ajudar a simplificar um pouco mais. Portanto, eᵘˡⁿ². Tudo o que eu fiz foi trocar esta ordem. Poderia ter escrito como eˡⁿ²·ᵘ. Se isto é um "a", "au" será o mesmo que "ua" mais "c". Esta é a nossa resposta, mas temos que fazer uma substituição reversa antes de ficamos satisfeitos com o que conseguimos, a antiderivada em relação a "x". Mas antes de fazer isso, veremos se posso simplificar isso um pouco mais. Se eu tiver, a partir das propriedades do nosso logaritmo isso natural, o "alnb", sabemos que isto é o mesmo que o lnbᵃ. Deixe-me desenhar uma linha. Correto? Isto se torna um expoente de qualquer logaritmo natural que calculamos. Então "u", vou escrever aqui, "u" vezes o ln2. É o mesmo que o ln2ᵘ, assim, podemos reescrever nossa antiderivada como sendo igual a 1/ln2, apenas esta parte aqui, vezes eᵃ. Isto pode ser escrito com base nessa propriedade logaritma, como ln2ᵘ. E é claro que ainda temos nosso "+ c" lá. Agora, o que eˡⁿ² elevado a "u". O ln2ᵘ é a potência que terá de elevar "e" para obter 2ᵘ. Certo, por definição, então, se elevamos "e" àquela potência, o que vamos obter? Obteremos 2ᵘ. Então, isto será igual a 1/ln2. Isto simplifica para apenas 2ᵘ. Eu escrevi aqui, o "lna", eu poderia reescrever em termos gerais. Deixe-me fazer isto aqui. Talvez eu esteja perdendo tempo, mas eu posso, em geral, escrever qualquer número como sendo igual eˡⁿᵃ. Este é o expoente que você tem que elevar "e" para obter "a". Se você elevar "e" àquilo, você obterá "a", então "e" elevado a "ln2ᵘ", é 2ᵘ. E ainda tenho o "+ c". Agora, podemos usar a substituição reversa. Agora definimos "u" como sendo igual a quê? Definimos "u" até aqui como sendo igual ao "lnx". Então, vamos fazer a substituição reversa aqui. Assim, a resposta à nossa equação original, vou escrever aqui, porque é gratificante quando você vê este tipo bastante complicado de problema de antiderivada. 2ˡⁿˣ sobre "x", dx. Agora descobrimos ser igual ao que nós pensamos por substituição "u". Nós apenas substituímos "u" pelo "lnx", porque aquela era a nossa substituição em 1/ln2 vezes 2ˡⁿˣ + c. E terminamos. Isto não está no denominador. Como eu escrevi, pode parecer um pouco ambíguo, e terminamos. Este foi um problema bem interessante. Obrigado ao Antônio por postar isto.