Integração por substituição: aplicações especiais

RKA3JV - Temos a integral indefinida de (x + 3) vezes (x - 1)⁵ dx. Poderíamos resolver isso usando a multiplicação distributiva de (x - 1)⁵ pelo teorema do binômio de Newton. Iria demorar um pouco. E multiplicando isso por (x + 3), teríamos um polinômio para calcular a antiderivada, ou poderíamos fazer uma substituição aqui que simplificaria essa expressão, tornando-a um pouco mais simples para calcular a antiderivada. Isso não seria o tipo mais tradicional de substituição em "u", onde definimos "u" igual a algo e buscamos sua derivada. Mas seria um tipo de substituição em "u", na qual definimos "u" igual a algo e vemos se conseguimos simplificar esta expressão. Vamos tentar! Temos (x - 1)⁵, seria complicado expandir tudo isso. A melhor opção seria ter apenas 1⁵. Então, vamos determinar que isso é igual "u". Então, o "u" será igual a "x - 1". Neste caso, du = dx. Poderíamos escrever que du/dx é igual a 1. Derivada de "x", derivada de -1 é igual a zero. Logo, estas duas expressões são iguais. Assim, como poderíamos escrever essa expressão inteira? Bom, isso seria igual à integral de, temos "x + 3" aqui, que não é igual a "u" nem a "du". Vamos pensar sobre o que poderíamos fazer aqui. Se "u" é igual a "x - 1", poderíamos somar um dos dois lados da equação. Assim, "u + 1" seria igual a "x". Então, para "x", podemos substituir isto por "u + 1". Então, x = u + 1. E temos mais 3 aqui, vezes (x - 1)⁵. "x - 1" era "u", esta é a simplificação que queríamos fazer. Então, vezes u⁵ e dx = du. Então, "du". E, agora, conseguimos chegar a algum lugar? Conseguimos simplificar isso para que seja mais fácil calcular a antiderivada? Bom, acho que conseguimos. Vamos ver. Podemos escrever isso como esta expressão aqui, apenas "u + 4", multiplicado por u⁵ vezes "du". E a razão pela qual isso simplifica as coisas é porque tiramos o (x - 1)⁵ que seria bastante difícil para expandir. Mas, u⁵ é mais fácil. E mudamos este (x + 3) por (u + 4). Assim, temos uma expressão muito mais simples. Agora, podemos apenas distribuir o u⁵. Temos o u⁶ + 4⁵ vezes "du". Agora, ficou bastante simples calcular esta antiderivada. Você deve estar pensando, como você sabia definir "u"? Muitas vezes com a integral será um pouco tentativa e erro. Tem uma arte nisto, mas aqui o raciocínio foi: (x - 1)⁵ é bastante complicado. Talvez u⁵ seja mais fácil. E funcionou! Poderíamos ter tentado u = x + 3, mas não teria simplificado tão bem quanto u = x - 1. Bom, vamos calcular essa integral aqui. Isso será igual a antiderivada de u⁶. Isso é u⁷ / 7, mais a antiderivada de u⁵, que é u⁶ / 6. Mas temos o 4 aqui fora, então, é 4 vezes u⁶ / 6. Também somamos "C". 4/6 é o mesmo que 2/3. Então, podemos reescrever essa expressão como u⁷ sobre 7, mais 2/3 de u⁶ mais "C". Agora, falta desfazer a substituição em "u". u = x - 1. Então, isso será igual a (x - 1)⁷ / 7 + (2 / 3) vezes (x - 1)⁶ + "C". Feito! Então, conseguimos pegar um problema cabeludo ou que poderia ser um problema bastante cabeludo, se tivéssemos expandido isso. E calculamos a antiderivada muito mais facilmente, usando um pouco de substituição em "u" e substituição reversa.