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Conteúdo principal

Introdução à continuidade

Neste vídeo, apresentamos uma definição formal de continuidade em um ponto usando limites. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

eu quero falar aqui nesse vídeo sobre continuidade continuidade de uma função é um conceito bem simples e bem fácil de ser reconhecido quando a gente vê entretanto eu quero falar um pouquinho também sobre uma definição digamos mais rigorosa mais formal para a continuidade quando eu digo continuidade é um conceito simples pra gente reconhecer quando a gente vê jogamos vamos dizer algumas funções aqui pra gente exemplificá isso então digamos que eu tenho aqui um eixo y e aqui um eixo x 1 x e y bom aí agora eu vou desenhar o gráfico de uma função qualquer vamos supor que o gráfico na nossa função é a se então a gente tem uma função aqui e essa função está aqui definida que nesse intervalo de x igual a zero até esse certo valor aqui de xis aqui na frente bom se eu te perguntar então essa função aqui nesse intervalo ela é contínua aí vai dizer não não é contínua é claramente não é contínua porque não é contínua porque a função aqui o gráfico da função ele vem vindo aqui de repente ela tem um salto ela salta daqui pra cá e continuou gráfico nessa parte de cima portanto a gente pode escrever que essa função aqui não é contínuo então essa função que a gente desenhou desse jeito aqui ela não é contínua e ela não é contínuo porque porque nesse valor aqui de che só pra esse valor aqui houve um salto né houve um pulo aqui a função saltou daqui pra cá então aqui tem uma descontinuidade diz continue idade tá então aqui é claramente as funções não se toca elas não se conectam e por isso tem uma conta desse continuidade vamos desenhar uma outra função aqui é parecida mas um pouquinho diferente então fazer aqui de novo um eixo y e aqui eu vou fazer um eixo x vamos fazer uma outra função aqui qualquer digamos essa aqui digamos que a nossa função agora faça algo assim é quem é essa função para esse ponto é que ela esteja definido na verdade aqui em cima então se eu te perguntar essa função aqui ela é contínua nesse intervalo que o desenho aqui é que vai dizer não claramente não porque a função está vindo aqui nesse quando ela vai chegar se aproximar desse valor aqui ela dá um salto lá pra cima depois ela continua mas ela houve aqui uma descontinuidade nela tem um pedaço aqui que não tá está conectado na onu outro né portanto esse pedaço aqui é onde acontece a nossa descontinuidade aqui a gente tem uma descontínuo idade e essa descontinuidade a gente vai dar o nome de removível removível e ela chama removível né embora se possa falar mas é parecido com aquela lá também teve um salto mas ela é chamada de removível porque você pode simplesmente acabar com a descontinuidade se você deixa definir que o a função em vez de valer esse ponto aqui ela ao valor da função vai ser esse cara aqui ó você acaba com o problema da descontinuidade né então a polícia ela chama descontinuidade removível agora vamos desenhar que mais uma vamos colocar aqui neste cantinho mais uma função tão aqui vou desenhar nosso eixo y e aqui y e aqui vamos colocar o nosso eixo x bom digamos agora a gente tem uma função que se comporte mais ou menos dessa forma que a gente pergunta essa função aqui é uma função contínua nesse intervalo que eu desenhei vai dizer com essa aqui sim é uma função continua você vê que ela não tem nenhum tipo de descontinuidade né tem nenhum ponto onde ela salta onde ela está desconectada onde a gente tem uma descontinuidade removível então essa que a gente pode escrever que essa é uma função contínua certo então essa ideia geral de continuidade é bem simples mesmo a gente enxergar quando a gente vê isso mas a gente está procurando agora uma definição digamos um pouco mais formal como a gente já sabe usar limite já sabe como definiu o limite que pode tentar procurar usar limites para fazer essa definição de continuidade então vamos lá já que a gente quer que uma definição mais rigorosa a gente pode usar definição que a gente conhece desse tipo de limite né a definição delta épsilon é uma definição bem rigorosa bem informal que a gente já conhece para limite é com essa definição inclusive que a gente consegue aqui é provar e garante que não só um limite existe como a gente consegue calcular o valor desse limite está então vamos tentar que nos apoiar nessa idéia para criar ea definição que a gente está procurando de continuidade então vamos desenhar que uma função na empresa no intervalo vamos fazer aqui o nosso eixo y ataque o eixo y e vamos fazer aqui o nosso eixo x aqui nós vamos desenhar um intervalinho desenhar uma função e parece intervalo tentamos tomar aqui o intervalo daqui daqui até aqui e vamos dizer que o nosso grafos um pouco graças à nossa função seja algo digamos assim é então eu vou dizer que a função é contínua num ponto se é que o digamos um ponto interior bom esse ponto aqui é inferior ao intervalo porque ele não está aqui nos extremos não faz parte dos limites aqui está no interior da do nosso intervalo então vamos escrever isso que a função vai ser contínuo nossa função vai ser contínua no ponto e interior e interior digamos vão dar um nó mês e então dizer que esse ponto cash quando x é igual a cê tá então a função vai ser contínua no ponto anterior ser-se que aconteceu que se o limite de fdx quando a gente fizer o x tender a ser ele foi igualzinho a fdc ele foi igual a função aplicada em ser então se a gente fizer aqui oxi se aproximar que descer então a função vai se aproximar aqui de um valor é desse limite aqui e se esse limite foi o mesmo valor aqui que fdc então a gente vai ter sucesso aqui a gente vê o limite é igual a fdc aí a gente não vai ter problemas de salto de descontinuidade né vamos observar aqui para ver se esses exemplos aqui o que a gente já tinha colocado se eles passam agora aqui nessa nossa nova definição nesse nosso primeiro exemplo aqui será que acontece aqui ó só que a gente tem limite de fdx quando x tende a ser igual a fcc será que isso é verdade vamos ver então primeiro vamos tentar fazer o limite aqui dessa função quando x tende a ser a gente faz aqui ó vamos chamar aqui dizer é que é o ponto onde a gente pode ter problema é que é o ponto em que suspeita que não seja contínua função é bom quando a gente fizer aqui o x tendendo a se aqui pela esquerda você vai ver que a função atendendo a esse ponto aqui ó então se a gente tiver assim o limite lateral esquerdo aqui ele vai ser um valor zinho aqui ó tá e se a gente fizer agora o x tender a ser pela direita aí você vai vendo que a função vai entendendo aqui pra esse ponto então o nosso limite lateral direita seria esse valor zinho aqui o que acontece é que esses dois valores eles são diferentes logo a gente tem que o limite de fdx quando a gente faz o x tender pela esquerda se estender até ser que pela esquerda isso aqui não é igual ao limite de fdx quando a gente faz o x tender pra ser pela direita ou seja isso aqui vai acarretar que o limite de fdx quando x tende a ser ele não tá nem definido é não definido e não está e não existe nesse limite aqui portanto a gente vai ter que o limite de fdx quando x tem jazz e é diferente aqui né df de ser diferente é diferente porque porque é fim de ser um valor né esse valor aqui em cima vai ver que o limite da a quando a gente faz o x tende a ser pela direita até parece ser esse valor zinho que df de cena mas o da esquerda não então se os limites laterais são diferentes e esse limite ele não existe portanto não tem como eles é igual a função aplicada no valor se então nesse caso aqui foi muito bom né isso ter acontecido porque a gente já desconfiava que esse caso é um caso de continuidade e pela nossa definição aqui é realmente um caso de continuidade agora aqui nesse segundo caso que será que acontece quando a gente tenta fazer o limite de fdx quando x tem jazz e então aqui está o nosso pontinho problemático aqui vamos colocar aqui ao cr a gente vai analisar se a função continua ou não a gente fizer o x tenderá a ser aqui pela esquerda você vai vendo que a função não está se aproximando nesse valor aqui ó então aqui vai ficar o nosso candidato aqui o limite né aí a gente fizer agora o limite lateral pela direita quando a gente faz hoje estender a ser pela direita você vê que a função está indo também para o mesmo cara né então esse nosso candidato aqui há limite é realmente o limite né então o limite lateral esquerdo limite lateral direita são iguais a esse valor aqui entretanto que você vê que a função não está definida para ser quando x negócio não está definida aqui nesse valor ela é definida que mais em cima então é aqui que está fdc logo claramente aqui a gente vê aqui o limite ele é diferente aqui da função aplicado em ser o que é muito bom né já que esse limite é diferente da função ele não passa aqui na nossa definição de continuidade ea gente já sabia que isso aqui realmente era um caso de continuidade agora no terceiro caso se a gente pegar aqui um ponto interior qualquer digamos um ponto aqui você fazendo o limite aqui tanto pela esquerda quanto pela direita você vai ver isso aqui vai realmente passava nem vai dar certo que o limite da função aqui a gente fizer o x tender esse pontinho aqui a esse valor aqui isso aqui vai realmente ser contínuo há o limite da função quando estender a ser vai ser igualzinho a função aplicado em si então esses pontos e interiores do intervalo a gente já está bem resolvido a gente já tem uma definição que funciona muito bem aí uma definição mais formal funciona muito bem para a continuidade agora vamos pensar um pouco como é que ficaria a continuidade nos pontos extremos sair do nosso intervalo então vamos pensar agora na continuidade continuidade nos extremos do nosso intervalo então a gente vai trabalhando ali na borda tipo no limite ali então a gente vai pegar aqui primeiro digamos um extremo inferior se tiver trabalho aqui com extremo inferior digamos que a gente tem um ponto sei que seja nosso esse extremo inferior bom ou desenhar aqui também uma função é fazer aqui a gente tem o nosso eixo y e aí aqui o nosso eixo x a gente tem aqui um intervalo vamos pegar o intervalo digamos daqui até aqui e se que seja o nosso extremo inferior então aqui vou chamar de ser e aqui vai ser o nosso extremo superior então digamos que o gráfico da nossa função ele faça algo digamos assim é algo mais ou menos assim tá então repara que agora para a gente definir a continuidade aqui então falar aqui ó como é que eu defino se a função é contínua contínuo no pontos e se aconteceu que se a gente tiver agora o limite de fdx quando x tende a reparar que eu não posso fazer o xixi estender até aqui pelos dois lados agora porque a função não está definida que antes desse extremo inferior portanto me aproximar disse aqui pela esquerda não vai rolar então a gente vai fazer a gente vai pedir que o limite de fdx quando x tende a ser pela direita tem que ser igual o valor da função aplicada em ser portanto se a gente conseguir garantir que conforme se aproxima de x descer pela direita se a função aqui também os valores da função forem se aproximando aqui do valor df dc então se o limite lateral direita e foi igual ao valor do fdc aí a gente vai ter a noção de continuidade batendo tata vai fazer sentido isso aqui bom vamos desenhar um gráfico que em que isso não acontece a gente tem uma descontinuidade aqui né vamos fazer um exemplo aqui pra você ver a digamos que a gente tem aqui um outro uma outra função um desenho aqui rapidinho e como é que a gente faria uma função de continuar aqui na borda no limite e no superior no limite extremo inferior e que está trabalhando aqui agora vamos pegar aqui nosso intervalo aqui a gente tem nosso extremo inferior c aqui a gente tem o nosso extremo superior vamos imaginar que a nossa função uma faça algo assim ó a função está definida aqui em cima e aqui ela faça algo desse tipo assim tá então nesse caso aqui é claramente você percebe que conforme aproxima aqui ó dos e pela direita você vai vendo aqui a função ela está atendendo a esse valor aqui então aqui que está o nosso limite lateral aqui ó pela direita ea função não está definido lá em cima então aqui a gente teria que o limite né então a gente tem que o limite de fdx quando x tende a ser pela direita aqui ele é diferente né de fdc portanto aqui a gente teria uma função não continua aqui no extremo inferior a bom você pode falar eo extremo superior mesma coisa né a gente vê a trabalhar aqui agora com o extremo a extremo a extremo superior então trabalhando aqui no extremo superior a gente até algo parecido então a gente vai ter uma função digamos assim o nosso eixo y aqui a gente tem o nosso eixo x e vamos pegar aqui no intervalo intervalinho aqui então daqui é o nosso extremo inferior é que a gente tem a nossa extrema superior então trabalham com um pontinho aqui então nós vamos dizer que podemos escrever que essa função aqui ela vai ser muito fazer o gráfico da função que o primeiro então digamos que a função está fazendo algo assim então a gente pode dizer que essa função não vai ser contínuo contínua em si em si se aconteceu que ó colocar aqui 16 somente se isso acontecer que o limite de fdx quando x tende a ser reparar que aqui agora é o contrário a gente não consegue fazer o x tender a ser pela direita não está definido a partir do seu céu é o limite superior nó extremo superior portanto só consegue fazer o xixi tende a ser pela esquerda então a gente vai fazer isso aqui ó pela esquerda então nessa nesse caso trabalhando com o extremo superior a gente vai querer que o limite de fdx quando x 100 dias e que ficou honrada em fazer de novo aqui quando x tende a ser pela esquerda isso aqui tem que ser igual a fdc tá então essa aí vai ser a definição é que a gente vai usar para os extremos bom então resumindo basicamente que a gente viu aqui é que continuidade é um conceito assim é muito complicado até simples para a gente observar quando a gente olha o gráfico aqui se a gente perceber que tem um tipo de salto nessa gente perceber que tem um tipo de buraco aqui na função de modo que o gráfico dela fica claramente assim desconectado é que essas partes elas ficam sem conexão ele ali naquele ponto vai ter uma descontinuidade gente já consegue observar que a função não é contínuo mas a gente conseguiu também avançar um pouco mais gente conseguiu usar que a definição mais formal mais rigorosa que a gente já conhece para limite ea partir dessa definição a gente criar uma definição mais apurada digamos mais rigorosa para a continuidade