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Transcrição de vídeo

nós já vimos várias séries infinitas o que eu quero fazer é interessante aqui nesse vídeo é usar as séries infinitas para definir uma função com certeza o mais comum é que você vai se deparar e é conhecido como a série de potências então a série de potências bom vamos aqui escreveu uma série de potências no caso geral de uma série de potências e eu posso imaginar então uma função fdx como sendo uma soma infinita a digamos um somatório aqui pra n igual a zero até infinito de a eni que vai ser os nossos coeficientes vezes x - e elevado à m vamos expandir isso aqui pra gente ver como ficaria a cara dessa nossa série de potência só que vai ficar a zero vezes x - e elevado a 0 mas a 1 vezes x - e aqui e levado a um é claro que pode simplificar e vai ficar 0 vezes menos elevado a 0 então ficar 10 vezes um que dá o próprio a 0 isso aqui vai ficar 1 vezes - e mas a 2 vezes x - e elevada ao quadrado e eu posso continuar isso aqui é assim por diante não é bom mas aí você pode olhar e dizer bom isso aqui parece muito com uma série geométrica se eu pensasse que em vez de ter a nossa razão a gente usou como que se eu pensasse aqui na nossa razão como x se eu pensasse que a nossa razão uma variável isso aqui é parece com uma série de métrica e você está absolutamente certo se é isso então nós vamos escrever aqui agora uma série geométrica pra gente comparar série geométrica então série geométrica vamos escrever aqui uma série geométrica bom eu tenho aqui digamos shea de x 1 x aqui é mais uma convenção é o que mais gosto comumente aparece aqui na variável independente mas se você quiser escrever de que aqui não tem problema nenhum também de x vai ser igual ao somatório aqui pra n igual a zero até infinito de a vezes x é levado a n então vamos aqui bem diferente aqui esse é um caso particular da santíssima a gente já reparou isso mas que tem diferente é que nosso coeficiente aqui vai ser a travessia um coeficiente fixo todos os termos vão ser multiplicados pelo mesmo valor há aqui a gente tinha a e nem tão novos coeficientes é que eles iam mudando se tinha 0 a 1 a 2 então eles vão variando né aqui você tem x elevado a eni e aqui você tem x - e levado à então aqui é como se fosse um caso particular que está usando ser igual a zero então ficou x 60 x então vamos expandir isso aqui também isso vai ficar a vezes x elevado a 0 poderia colocar a anepe que vai dar um então o próximo vai ser a vezes x elevado a 1 mas à vezes x elevada ao quadrado e assim sucessivamente né o que é bem interessante aqui na série geométrica é que em alguns casos isso aqui ela vai dar um valor infinito né então a gente sabe que em algumas condições aqui com algumas restrições que a gente observar isso aqui vai convergir para um valor infinito vamos escrever isso quando é que uma série geométrica ela com vende então uma série geométrica convés disse bom para convergir essa série geométrica como aqui é uma soma infinita de termos a gente vai estar sempre acrescentando alguma coisa mais aqui esses termos aqui eles têm que ir ficando cada vez menores e pra isso acontecer a gente vai ter que ter o módulo de xis aqui que seria como se fosse a nossa razão menor que 1 então se o módulo de x com menor que 1 cada termo aqui vai ficar no cada vez melhor cada vez menor então isso aqui vai convergir para o valor infinito bom eu posso escrever módulo de x men in black um de outra forma né se o módulo de xisto em semear que uns quer dizer que o x ele tem está entre -1 e um tá então isso daqui que eu escrevi aqui vamos colocar aqui também isso aqui é conhecido como intervalo intervalo de convergência então o intervalo de convergência então se a gente pegar valores de x praxes preso nesse intervalo de convergência entre menos 11 a gente sabe que isso aqui vai convergir para algo milito como é que fica isso aqui ó bom que a gente sabe a gente sabe que se a gente tiver trabalhando aqui dentro do intervalo de convergência que vai convergir para o valor infinito e qual vai ser esse valor infinito bom isso vai ficar igual ao primeiro termo que a gente tem aqui que seria o seria a primeiro tempo sobre um - a razão aqui a nossa razão aqui é x já que a gente está aqui multiplicando aqui quando a gente passa de um termo para o outro aqui está multiplicando por x né aqui é como se fosse x a nossa razão então esse resultado aqui é bem interessante para a gente porque a gente vai conseguir pegar funções digamos mais tradicionais e tentar escrever aqui nessa forma e com isso fazer a expansão aqui usando uma série geométrica a idéia de usar série de potências e nesse caso específico série geométrica para representar funções ela tem muita públicas muitas aplicações nas áreas de engenharia de finanças que a gente vai usar uma quantidade infinita de termos aqui dessa expansão para fazer a aproximação aí pra nossa função de uma maneira que fique mais simples para você trabalhar de uma maneira mais conveniente de acordo com a sua necessidade e não só isso a gente não vai conseguir só sair dessa expansão aqui pra chegar a uma fórmula que com que deu um valor infinito aqui em termos de valor infinito a gente vai conseguir fazer o contrário a gente vai conseguir sair de expressões desse tipo e fazer a sua expansão achaque uma série que represente nesse valor entretanto tem que tomar muito cuidado porque a gente só pode fazer isso aqui só vai ser verdade né isso aqui só vai dar certo se a gente estiver trabalhando dentro do nosso intervalo de convergência e um outro que pode aparecer pra você aí que é comum é o raio de convergência então um raio de convergência ele está de certa forma ligado aqui com esse intervalo de convergência então a partir desse ponto se aqui um raio de convergência vai me dizer o quanto eu posso andar pra frente ou para trás aqui desses eu quanto eu posso e me distanciar de sc que em qualquer uma das duas direções né então fixado esse ser a gente pode ir quanto se afastar quanto desses e de modo que a gente ainda fique dentro do intervalo de convergência isso vai ser aqui dado pelo raio de convergência então nesse caso aqui em que os igual a zero que a gente tem aqui ser igual a zero a gente pode se afastar quanto do zero aqui sem que a gente saia do intervalo de convergência então posso ir para a direita ou para a esquerda de zero enquanto né então você pode ver que desde que você não se afaste de zero aqui um ou mais tanto pra frente quanto atrás desde que você se afaste de zero mas você não ultrapasse 1 fique menor que 1 e não ultrapasse aqui fique maior que menos um é então você pode garantir que você está dentro do intervalo de convergência então esse raio de convergência nesse caso aqui a gente vê que é igual a 1 não há outra maneira de você observar isso é que a distância entre os limites só de -1 até 1 a distância é 2 como eu posso fazer isso aqui do que em relação ao 0 é que seria o nosso centro aqui em relação ao 0 eu posso fazer isso tanto na frente quanto atrás essa distância máxima sendo 2 o raio de convergência vai ser exatamente a metade desta distância então rádio convergência vai garantir que a gente está aqui dentro do intervalo de convergência aqui da nossa série