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nós temos aqui o gráfico de uma função fdx qualquer mesmo sem conhecer quem é essa função fdx eu quero aqui aproximar essa função fdx usando por nomes acrescentando cada vez mais termos a esposa o nome de modo que esse foi o nome seja o mais próximo possível dessa função fdx pra isso eu vou assumir que eu sei algumas coisas digamos que a gente saiba calcular o valor da função efe quando x é igual a zero ou seja que eu conheça ep dizer além disso eu queria também que sabe calcular a derivada primeira derivada segunda derivada terceiro e assim por diante quando x é igual a zero ou seja estou supondo que eu conheço o valor df de zero que eu conheço o valor df linha de zero que eu conheço o valor df duas linhas de zero que eu conheço o valor de f3 linhas de 0 e assim sucessivamente vamos pensar então em como a gente pode aproximar essa função usando polinômios com a quantidade de termos cada vez maior vamos supor que esse foi o nome tem apenas um tema e que esse termo seja uma constante nesse caso a gente tem então polônia de grau zero seria interessante se a gente tivesse que essa constante fosse igual ao valor da função aplicado em x igual a zero ou seja que este porém nome fosse gol uma constante essa constante fosse fd01 assim o que a gente quer que a gente tenha pedido a 0 igual a f10 é o polônio que a gente quer construir então a gente quer aplicar o poli nome no ponto zero ea gente quer que dê igual a função ao aplicar 0 mas como esse polônia que ele é de grau zero é igual uma constante a gente vai definir e cipolini nome como pedir x igual à efe dezero desenhar que o gráfico de polônia peixes negou é fizer petynguá fizeram competição é uma constante gráfico de poloni constante ele é uma reta horizontal aqui passando em fizer tá você vai dizer sim poxa mas essa aproximação ficou muito ruim realmente essa aproximação ficou muito ruim a gente tem aqui a função e por nomes são iguais em x igual a 0 e pode até acertar um ponto aqui pra frente ou outro que para trás por sorte mesmo aqui a gente não vai ter assim na maioria dos valores de x o poli nome ea função batendo um com o outro entretanto assim como a linha horizontal se é o melhor que eu consigo fazer é pelo menos no valor que a gente queria que a china igual a zero a gente tem o nome ea função tendo o mesmo valor é fizeram aqui tá e embora isso aqui não parece uma constante é de zero é uma constante é o valor da função é aplicado em x igual a zero quando calcula função fx igual a zero eu vou ter um número que não importa quem é esse número definido peixes igual a esse número aí o gráfico vai ser uma reta horizontal aqui passando nesse número vinho fd01 mas é evidente que isso aqui não ficou uma boa aproximação né então vamos colocar mais restrições para ver se a gente consegue uma melhor aproximação que essa então além de ter perdido 0 o f10 é obviamente não quer perder isso aqui né vamos pedir também para a gente ter pela linha de zero e qual é filhinho dizer ou seja o que a gente quer aqui é que a gente tenha derivado a primeira do poli nome em zero seja igual à de levado a primeira da função que exerce sem perder essa informação que tinha que dizer é igual a zero então se a gente colocasse nosso poli nome pdx assim de felipe x igual à efe de zero e aí eu tô pegando velho por nome peixes no egito que defendeu antes mas a ep linha de zero vezes x analisar aqui como é que ficaria nesse caso olha só a si esse aqui vai ser o nosso património então como é que ficaria aqui p de zero ou seja se eu trocar o chip zero como vai ficar o nosso polônia bom aqui fd01 continua fd01 uma constante e aqui quando eu fiz é é filha de che de 0 13 x não importa quem é filha de zero mesmo que não conheça eu vou colocar o chip igual a zero acho que vai ser um número qualquer x 0 não vai aparecer então a gente já tem aqui o que a gente queria né que é perder 0 f dizer conseguimos com esse nosso novo polônia agora vamos ver o que acontece com pela linha de x quando a gente vai derivar aqui o povo nome é esse pedaço que é uma constante é derivada de uma constante a 0 então esse pedaço aqui vai dar zero agora esse pedaço aqui a gente tem o coeficiente vezes x ou uma constante existisse poderia o xis aqui e veja uma constante isso vai sobrar sua própria constante para ficar e filhinha de zero então aqui a gente tem que é a derivada nosso por nome e x6 é filha de zero ou seja vai ser um valor constante para qualquer valor de x então quando eu fizer pela linha avaliada no zero se eu colocar o x igual a zero eu vou ter que pedir lhe dizer é igual é filha de zero o que eu queria que acontecesse né então mesmo que eu não conheça aqui estou sumir que eu sei calcular derivado primeiro aqui da função em 0 então eu sei que isso aqui vai ser um valor constante esse aqui é o valor constante então eu vou ter que pedir linha de zero é igual à efe linha de zero e mais legal desse poloneses que a gente tem aqui ó é que esse foi o nome tem dois temos um tema que grau zero em termos de grau um e quando chegou a zero porém nome tem o mesmo valor que a função além disso a gente tem aqui a derivada dele também qual quando chegou a zero ou seja a gente tem a mesma inclinação aqui do poli nome e da função quando chegou a zero se desenhar que o gráfico de se pôde nome aqui de grau 1 e vai ter que mais ou menos esse gráfico vai ser uma coisa desse tipo aqui vai ser aqui parecido com a reta tangente ao função efe quando x é igual a zero aqui quando eu tomando valores próximos de x igual a zero aqui a gente tenha a mesma direção do povo em nome da função a gente já me deu uma melhorada em relação à a reta horizontal que a gente criou né meu pocolino anterior mas ainda assim uma aproximação muito boa então se a gente conseguir pedir todas essas restrições que a gente já tem até agora e adicionar mais a derivada segunda também igual no quando x10 a gente vai conseguir uma aproximação melhor ainda mas antes até para a gente não se perder vamos chamar essa esse pronome aqui com a nossa primeira tentativa tentativa número 1 já se pôde nome aqui foi a nossa segunda tentativa então vamos colocar a nossa segunda tentativa ea gente vai tentar até agora nossa terceira tentativa a gente colocasse que é nosso por nome pdx vamos colocar aqueles porém não petisca igualzinho os mesmos termos que a gente usou do poli nome anterior então vamos colocar fd01 mas é filhinho de 0 x e aqui agora a gente vai acrescentar um novo termo esse novo tempo vou até colocar de cor diferente aqui ó mas meio vezes f 2000 0 x quadrado bom já se vai ver porque a gente colocou esse meio aqui né quando fizer derivada segunda se vai entender o porquê do meio agora vamos ver que esse o nosso povo o nome p as suas derivadas quando chegou a zero atendem às nossas restrições um cálculo aqui que seria p dizer né vamos colocar no lugar do x10 então aqui vai ficar fd01 é uma constante e aí ficaria x igual a zero esse pedaço aqui some que vai multiplicar por 10 e ac x igual a zero será o quadrado é zero também faz esse pedaço aqui subir portanto a gente tem aqui a nossa primeira condição satisfeito né quer dizer é igual a zero vamos agora procurar o nosso povo e nome pela linha de x né vamos concluir akp linha de x 1 pegar derivada de simone que seria pela linha de x vamos levar aqui derivada de constante a 0 em dois pedaços vai subir derivada de uma constante vezes x é a própria constante então voltei a filhinha de zero mas agora esse pedaço aqui a gente vai fazer aqui a regra do tombo ea gente vai derivar um polígono de segundo grau que vai acontecer se dois vai cair aqui e aí como a gente já tem 1 / 2 aqui esse 2 que caiu vai dividir por dois vai ficar um ano vai da efe duas linhas de zero e aqui a gente vai fazer diminuir se expõe tinha então se era x ao quadrado isso aqui vai ficar x levado a um e dá pra entender porque a gente colocou aquele meio aqui né gente colocou o meio pra não ter aquele 2 aparecendo aqui agora como coeficiente se não colocasse o meio e se 2 que caiu ea ficar aparecendo aqui para evitar isso a gente colocou me mas como é que fica aqui pela linha quando a gente tem um x igual a zero vamos então calcular aqui e linha de zero comper linha quando o x é igual a zero vai dar é filhinho de zero já que isso aqui é uma constante e não depende de x e aqui eu vou te x igual a zero esse pedaço vai sumir então vou ter peninha de zero é filha de zero que é o que eu queria bom vamos tentar agora calcular a nossa derivada segunda aqui né vamos ver se a gente consegue calcular plp 2 linhas de x que seria a nossa elevada segundo a gente vai fazer a nossa elevada segunda que a gente vai fazer é derivada da elevada primeira né então a gente vai derivar aqui é filhinho dizer é uma constante isso vai sumir e aqui a gente vai ter uma constante existe já derivada de uma constante existir é a própria constante então a gente vai ter que duas linhas igual a zero portanto a gente tem aqui a nossa derivada segunda também vai ser um valor constante efe duas linhas de zero e aí a gente aplicar esse valor aqui derivada segunda desse nosso povo de nome enchido igual a zero a gente vai ter o seguinte então o que vai dar pt duas linhas de zero quando a gente coloca 0 aqui não importa pra qualquer valor de x esse valor é constantes vai dar efe duas linhas de zero ea gente tem as três condições que a gente queria te dizer é igual a zero queria dizer igual é filha de zero e pl duas linhas de zero é igual à efe duas linhas de 0 10 por nome é igual a função quando chegou a zero à deriva a primeira delegada elevado a primeira da função quando chegou a 0 e levado à 2ª delegacia e levado à 2ª da função quando chegou a 0 a gente conseguiu as nossas restrições já estão ficando bem bom isso aqui né dá até pra perceber um padrão conforme a gente vai adicionando que novos termos a gente vai ter um controle para não perder aquilo que a gente já tinha e garante que a gente vai ter a derivada de ordem e no poli nome quando chegou a 0 e igual à deriva de ordem e na função quando x é igual a zero em geral você pode continuar adicionando termos aí para o seu povo em nome da verdade se você tiver tempo você pode colocar quantos temas você quiser vamos tentar então escrever e cipolini nome de aproximação e como ficaria o nome px meu povo em nome de aproximação o primeiro tempo desse nosso por nome seria um tema constante então esse tempo seria f10 mas o nosso segundo turno seria filhinha de zero vezes x que seria o termo de grau 1 mas o próximo tempo ficaria filhinha de zero vezes meio vezes x quadrado aqui só inverter a ordem nesses dois e para que não muda nada já que é um produto uma multiplicação mas como ficaria o nosso próximo termo nosso próximo ter cf três linhas de 01 sobre aqui vai aparecer 13 e 12 vezes x álcool porque vai aparecer se três aqui a mais com o poder de levar esse cara aqui de ordem 3 pela regra do tombo e 3 vai cair aí vou cortar 3 com três e aqui vai sobrar um x quadrado derivada de novo desse tempo vai caiu 2 pela regra do tombo vai cortar 2 com dois equívocos caxias igual a 1 portanto aqui eu não crio um coeficiente indesejado dessa forma a gente consegue se livrar desse problema ea gente pode continuar isso aqui neste dia se quiser também é derivado a quarta do povo de nome conhecida quadriculada quarta da função e x igual a zero a gente vai vir aqui acrescentar mais um termo sim aqui ó eu vim aqui acrescentar mais f e quatro linhas a derivada quarta da função fx igual a zero vezes um sobre quatro vezes três vezes 2 vezes x elevado a quarta etapa você mesmo verificar que há de levar a quarta deste nome x igual a zero é igual à elevada quarta da função fx igual a zero se a gente quiser a gente pode até continuar aqui acrescentando mais temos a gente teria que um termo genérico na posição n seria derivada de ordem n 20 x iguaçu 0 vezes um sobre m fatorial vezes x é levado a ele mas porque ele fatorial vão reparar que aqui a gente usou quatro fatores ao quatro fatores ao é quatro vezes três vezes 2 vezes um a mais não está aparecendo a gente precisa escreveu um dia que um não muda nada na multiplicação então aqui também pode pensar que aqui tem um então isso aqui é três fatores ao ac também a gente pode pensar que tem 12 meses 1 então isso aqui seria 2 tutorial aqui teria embaixo desse cara um fatorial que é um mix de escrever aqui embaixo de escada teria zero fatorial que é um também é também preciso escrever então a somatória de todos esses temas aí essa série é conhecida como série de mclaren essa série a gente pode utilizar ela para aproximar a polônia fez com a gente viu aqui na verdade a gente tem outros resultados a que são até mais forte que a gente vai ver depois bom então está acontecendo aqui que a gente tentar aproximar utilizando um polígono de grau zero a gente vai ter que o nome constante então a reta se o gráfico dele vai ser uma reta horizontal passando por r 10 se eu quiser aumentar aqui o grau do meu por nome acrescenta num termo aí eu voltei aqui que a reta vai ser mais ou menos como isso aqui a reta tange a gente aqui ao a função fx igual a zero se quiser sentar mais termos ainda a gente consegue aumentar o grau do poder o nome ea curva do do nosso povo o nome poderia ser uma coisa mais ou menos assim a gente pode acrescentar ainda mais se acrescentar que vão aumentar o grau de novo ea gente teria curva do nosso polinômios mais ou menos algo desse tipo assim como de fato se você continuar aumentando os termos você vai perceber que pelo menos nessa proximidade que de x igual a zero o gráfico aqui do povo em nome da função vou ficar muito parecidos em teoria se você colocar infinitos termos aí tô dizendo em teoria que a gente não provou mas a gente utilizar infinitos temos aí a gente vai ter o a curva de se pôr nome praticamente se aproxima muito bem aqui a curva do gráfico da função f1 e só para você saber a série de mccoy ela é um caso particular da série de tv quando a gente usa que o centro igual a zero na verdade na série de tv você pode usar o centro aqui e qualquer valor de x na série de macquarie que é o nosso foco a gente vai usar o centro igual a zero