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A relação gráfica entre uma função e sua derivada (parte 2)

Transcrição de vídeo

nesse vídeo nós vamos tentar encontrar um gráfico da amt derivada de uma função então deixa eu escrevi aqui nós vamos tentar encontrar a amt derivada e uma coisa legal às falar a respeito da amt derivada é que ela é apenas uma palavra bonita para descrever a função em que a sua derivada seja a função que nós conhecemos então vamos supor que a gente tem uma função fdx a gente vai dizer que a amt derivada vamos escrever isso aqui antes derivada de fdx é f maiúsculo dx fdx é a função que a gente conhece e anti derivada efe zhang xi certo assim caso a gente calcula derivada df são de x então df visão de x em relação à x ou simplesmente é fielzão linha de x isso aqui vai ser igual a nossa função é função que a gente conhece então antes de ser levada de uma função é aquela função em que a derivada dela vai ser a função que a gente conhece e aqui nós temos dois gráficos certo e utilizando essa ideia o que nós vamos fazer aqui é a partir do gráfico de uma função a gente vai esboçando a o gráfico da amt derivada dessa função ou melhor a gente vai reembolsar o gráfico de uma anti derivada dessa função já que uma determinada função pode ter várias ante derivadas mas a partir do gráfico dessa função pelo menos a gente vai ter uma idéia de como o gráfico de uma dessas antes de elevadas vai se parecer então aqui esse vai ser o gráfico de y igual a fdx e aqui em cima a gente vai ter o gráfico de y sendo igual a fusão de x ou se já a amt derivada de fdx então vamos lá pra gente começar a traçar o gráfico aqui da amt derivada vamos observar o gráfico aqui dá derivada nesse primeiro intervalo aqui nesse primeiro intervalo que vem aqui de x igual a zero até este outro ponto em que nós estamos traçando essa reta tudo bem como você observar nesse gráfico a gente tem uma reta horizontal constante em y igual a um certo isso aqui indica o que pra gente vem a derivada sempre vai indicar a inclinação de uma reta tangente em um determinado ponto como esse valor é constante de x igual a zero até x igual esse ponto aqui a gente vai ter uma inclinação constante e positiva e essa inclinação vai ser igual a 1 então nós vamos ter aqui nesse primeiro intervalo uma inclinação sendo positiva igual a um sendo assim a gente vai ter uma reta subindo desse jeito é que isso aqui vai ser uma reta com uma inclinação igual a 1 então ante derivado está aumentando porque a inclinação é positiva e essa inclinação vai ser igual a um cresce mais ou menos desse jeito lembrando nesse ponto é que a gente tem um ponto de indeterminação a nossa função aqui é um ponto de determinação sendo assim nesse ponto quando a gente fosse calcular derivado a gente poderia ter infinitas retas tangentes nesse ponto já que a derivada é indeterminada nesse ponto agora vamos observar o segundo intervalo neste segundo intervalo que vem daqui até aqui deixou novamente traz aqui uma reta é uma reta subindo aqui desse jeito nesse ponto a derivada também a contínua já que é uma reta horizontal no ponto y igual a 2 sendo uma derivada contínua a gente também vai ter uma reta que nessa ante derivada mas essa reta pode ser subindo ou descendo vai depender do sinal da nossa derivada como a nossa de elevada tem um valor igual a -2 a gente vai ter uma reta de crescendo aqui essa reta vai estar decrescendo com uma inclinação duas vezes maior que essa outra anterior tem uma inclinação mais ou menos desse jeito aqui um detalhe aqui nesse ponto como eu disse a gente pode ter um ponto de infinitas derivadas já que a gente não tem uma derivada determinada que então por mais que eu tenha traçado essa continuidade nessa função aqui nesse ponto ela poderia partir de qualquer ponto além disso como eu falei a gente tem uma antes de levar então a gente tem várias funções a que poderia ter esse mesmo comportamento mas não ter essa continuidade então nesse intervalo que a gente teria uma reta decrescendo desse jeito mas a gente poderia partir de qualquer ponto é que no y então não necessariamente teria uma continuidade apenas avaliando a partir desse gráfico ok lembre-se novamente isso aqui representa y igual antes derivada e esse da que representa a nossa função fdx então esse gráfico aqui de baixo nada mais é do que a derivada dessa função de qualquer uma outra função em relação à x agora vamos observar esse outro intervalo partindo desse ponto e vindo até esse ponto como você pode observar agora a gente não tem uma reta horizontal mas sim uma reta de crescendo só que nesse primeiro intervalo aqui a gente tem valores positivos para derivada e aqui nesse outro intervalo a gente tem valores negativos para derivada então a gente vai ter que avaliar a cada um desses dois intervalos separadamente ok então vamos começar que nesse ponto no ponto em que y aqui na derivada é igual a zero e nesse outro ponto é que em que y é igual a 2 ou seja se a derivada é positiva a nossa ante derivado está crescendo aqui nesse intervalo mas à medida que nós nos avançamos a can x a derivada vai ficando cada vez menos positiva certo se ela vai ficando cada vez menos positiva ela vai ficando cada vez menos inclinada então a gente começa que como inclinação muito alta mas à medida que a gente vai avançando essa inclinação vai diminuindo até chegar nesse ponto em que a inclinação é igual a zero como nesse ponto a inclinação é igual a zero a gente tem que ter uma reta tangente é que horizontal já que a inclinação vai ser igual a zero agora a gente pode avaliar o outro intervalo nesse intervalo aqui certo nesse intervalo a gente tem uma derivada negativa então a função a amt derivada nesse caso está decrescendo se ela está decrescendo significa que a gente vai ter que descer mas decrescendo de que forma a derivada que nesse caso começa com valor igual a zero mas à medida que a gente avança no x ou seja a função vai ficando cada vez mais inclinada no sentido negativo então começa aqui igual a zero certo e à medida que a gente vai avançando ela vai ficando cada vez mais igual a zero isso é que tem que ser simétrico tudo bem apesar de não ter representado muito bem essa simetria mas esse lado que é simétrico a esse tudo bem e outro detalhe novamente atrás e que essa continuidade mas essa função é ficção de chianti derivada não precisa ser contínua nesse ponto não tá bom a gente pode deslocar para qualquer posição aqui na vertical e novamente nesse ponto a gente pode ter infinitas retas tangentes já que é derivada nesse ponto aqui é indeterminada vamos avaliar agora o último intervalo neste último intervalo a nossa função aqui vai ser igual a 0 e além disso a nossa reta também é horizontal sendo assim a inclinação a partir daqui nesse intervalo vai ser igual a zero ou seja nós vamos ter uma reta constante e horizontal saindo desse ponto e vindo aqui para o infinito bem lembrando novamente que a gente tem um gráfico de uma anti derivada dessa função fdx a gente poderia ter qualquer um desses intervalos em posições diferentes mas isso daqui pelo menos nos dá uma idéia de como gráfico dessa ante derivada de fdx vai se parecer aqui por exemplo poderia desenhar essa reta horizontal aqui em cima não haveria nenhum problema tá aí a gente teria algo de acordo com essa derivada que seria uma outra função mas a derivada dela teria esse mesmo gráfico ou seja a gente pode deslocar essas figuras para qualquer posição aqui no y seriam funções diferentes mas em que a sua derivada seria a mesma coisa por isso que a gente sempre fala que isso daqui é uma anti derivada e não a amt derivada