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A relação gráfica entre uma função e sua derivada (parte 1)

Transcrição de vídeo

nesse vídeo eu vou te mostrar uma função muito louca e vou te mostrar como você consegue representar graficamente a derivada para essa função o que eu preciso fazer é pensar sobre a inclinação da reta tangente ou na inclinação de cada ponto dessa curva então vou tentar desenhar a inclinação da melhor maneira possível então vamos fazer isso logo aqui nesse ponto a inclinação é positiva e é na realidade muito positiva e quando x aumenta apesar da inclinação ainda se manter positiva é menos positiva e vai se tornando cada vez menos positiva até se tornar zero nesse ponto aqui nesse ponto nós sabemos que a inclinação tem que ser igual a zero deixa eu desenhar aqui embaixo uma função de yy é igual a derivada de x eu vou assumir que essa parte que é uma parábola e você logo vai saber por que eu fiz essa suposição a inclinação aqui é muito positiva digamos que a inclinação esteja logo nesse ponto aqui e que ela se torna cada vez menos positiva então eu vou assumir que ela literalmente faz isso aqui por isso que eu assumi que essa figura é um tipo de parábola então ela vai se tornando cada vez menos positiva observe que aqui nesse ponto a inclinação ainda é positivo e quando você olha derivada a inclinação ainda vai ter um valor positivo mas quanto maior for o x até esse ponto menor será inclinação até chegar a um valor igual a zero então a inclinação vai ficar cada vez mais negativa e à medida que o x aumenta a inclinação vai se tornando cada vez mais negativa até chegar nesse ponto aqui que é tão negativa quanto era positiva lá do outro lado isso parece ser uma visão bem razoável da inclinação da linha tangente nesse intervalo certo vamos pensar um pouco agora que chegamos nesse ponto aqui a inclinação parece ser constante nossa inclinação é um valor positivo constante mas eu só vou tomar um cuidado aqui nesse ponto a nossa inclinação não será definida aqui porque você poderia desenhar várias retas tangente sobre esse pequeno ponto então deixa eu desenhar um círculo logo aqui no entanto quando chegamos aqui a inclinação parece ser positiva então vamos colocar isso aqui no gráfico a inclinação parece ser positiva apesar de não ser maior que nessa outra posição então uma inclinação se parece com isso aqui eu vou fazer isso de forma grosseira tudo bem a nova inquilina ação tem um valor positivo constante ao longo de todo esse tempo temos uma linha com uma inclinação constante e positiva logo isso vai ter mais ou menos dessa forma a deixar bem claro de que é esse intervalo que nós estamos falando e eu quero que essas coisas aqui sejam iguais e deixa fazer o melhor possível aqui logo isso aqui se igual a isso e isso se iguala isso aqui assim nós dissemos que temos uma inclinação positiva e constante e que tem algo parecido com isso nesse intervalo se nós olharmos aqui nesse ponto nós vamos ter uma inclinação indefinida não existe uma maneira de você encontrar uma inclinação nesse ponto ou nesse ponto de descontinuidade mas quando olhamos aqui mesmo que o valor da função tenha diminuído existe uma inclinação constante e positiva na verdade a inclinação das linhas parece igual a inclinação dessa outra linha então deixa eu fazer isso daqui com uma cor diferente a inclinação dessa linha vai aparecer e idêntica nós vamos continuar com a mesma inclinação ela será indefinida nesse ponto mas nós vamos continuar com a mesma inclinação mais uma vez ela é indefinida aqui nesse ponto de descontinuidade a inclinação se parece com algo assim e aí a gente vem pra cá o valor da função aumenta mas agora a função é plana ou seja nós temos uma reta horizontal aqui assim a inclinação nesse intervalo é zero então nós poderíamos dizer que nesse intervalo aqui nós temos uma inclinação sendo igual a zero finalmente nessa última parte a inclinação vai se tornar negativa mas é um valor negativo constante já que nós temos uma reta inclinada e essa inclinação se parece mais negativa do que essa a inclinação aqui positiva ou seja essa reta é a mais inclinada negativamente do que essa outra era positivamente então deixa eu colocar isso aqui então aqui nós temos essa função da elevada para essa função estranha enfim o objetivo desse vídeo foi dar a você um pensamento intuitivo de como funciona a inclinação de uma função e como você pode intuitivamente expressar essa inclinação em qualquer ponto ao longo dessa função fazendo isso a gente consegue representar derivada para essa função nesse outro gráfico aqui ao longo de todo esse intervalo