A relação gráfica entre uma função e sua derivada (parte 1)

RKA3JV - Neste vídeo, eu vou te mostrar uma função muito louca! E vou mostrar como você consegue representar, graficamente, a derivada para esta função. O que eu preciso fazer é pensar sobre a inclinação da reta tangente ou na inclinação de cada ponto desta curva. Então, eu vou tentar desenhar a inclinação da melhor maneira possível. Então, vamos fazer isso! Logo aqui neste ponto a inclinação é positiva. E é, na realidade, muito positiva. E quando "x" aumenta, apesar da inclinação ainda se manter positiva, ela é menos positiva e vai se tornando cada vez menos positiva até se tornar zero neste ponto. Aqui, neste ponto, nós sabemos que a inclinação tem que ser igual a zero. Deixe-me desenhar aqui embaixo uma função de "y" em que "y" é igual à derivada de "x". Eu vou assumir que esta parte aqui é uma parábola. E você logo vai saber por que eu fiz essa suposição. A inclinação aqui é muito positiva. Digamos que a inclinação esteja logo neste ponto aqui e que ela se torna cada vez menos positiva. Então, eu vou assumir que ela literalmente faz isto aqui. Por isso que eu assumi que esta figura é um tipo de parábola. Então, ela vai se tornando cada vez menos positiva. Observe que aqui neste ponto a inclinação ainda é positiva. E quando você olha a derivada, a inclinação ainda vai ter um valor positivo, mas quanto maior for o "x" até este ponto, menor será inclinação até chegar a um valor igual a zero. Então, a inclinação vai ficar cada vez mais negativa. E à medida que o "x" aumenta, a inclinação vai se tornando cada vez mais negativa até chegar neste ponto aqui, que ela é tão negativa quanto era positiva lá do outro lado. Isso parece ser uma visão bem razoável da inclinação da linha tangente neste intervalo, certo? Vamos pensar um pouco agora que chegamos neste ponto. Aqui, a inclinação parece ser constante. A nossa inclinação é um valor positivo constante, mas eu só vou tomar um cuidado aqui neste ponto. A nossa inclinação não será definida aqui, porque você poderia desenhar várias retas tangente sobre este pequeno ponto. Então, deixe-me desenhar um círculo logo aqui. No entanto, quando chegamos aqui a inclinação parece ser positiva. Então, vamos colocar isso aqui no gráfico. A inclinação parece ser positiva, apesar de não ser maior que nesta outra posição. Então, a inclinação se parece com isso aqui. Eu vou fazer isso de forma grosseira, tudo bem? Logo, a inclinação tem um valor positivo constante ao longo de todo este tempo. Temos uma linha com uma inclinação constante e positiva. Logo, isto vai ter, mais ou menos, esta forma. Quero deixar bem claro de que é este intervalo que nós estamos falando. E eu quero que estas coisas aqui sejam iguais. Deixe-me fazer o melhor possível aqui. Logo, isto aqui se iguala a isto e isto se iguala a isto aqui. Assim, nós dissemos que temos uma inclinação positiva e constante, e que tem algo parecido com isso neste intervalo. Se nós olharmos aqui neste ponto, nós vamos ter uma inclinação indefinida. Não existe uma maneira de você encontrar uma inclinação neste ponto ou neste ponto de descontinuidade. Mas, quando olhamos aqui, mesmo que o valor da função tenha diminuído, existe uma inclinação constante e positiva. Na verdade, a inclinação desta linha se parece igual à inclinação desta outra linha. Então, deixe-me fazer isto aqui com uma cor diferente. A inclinação desta linha vai parecer idêntica. Nós vamos continuar com a mesma inclinação, ela será indefinida neste ponto. Mas nós vamos continuar com a mesma inclinação. Mais uma vez, ela é indefinida aqui neste ponto de descontinuidade. A inclinação se parece com algo assim. E aí, a gente vem para cá. O valor da função aumenta, mas agora a função é plana. Ou seja, nós temos uma reta horizontal aqui. Assim, a inclinação neste intervalo é zero. Então, nós poderíamos dizer que neste intervalo aqui nós temos uma inclinação sendo igual a zero. Finalmente, nesta última parte, a inclinação vai se tornar negativa, mas é um valor negativo constante, já que nós temos uma reta inclinada e essa inclinação se parece mais negativa do que essa a inclinação aqui positiva. Ou seja, esta reta é a mais inclinada negativamente do que esta outra era positivamente. Então, deixe-me colocar isso aqui. Então, aqui nós temos esta função derivada para esta função estranha. Enfim, o objetivo deste vídeo foi dar a você um pensamento intuitivo de como funciona a inclinação de uma função. E como você pode, intuitivamente, expressar essa inclinação em qualquer ponto ao longo desta função. Fazendo isso a gente consegue representar a derivada para esta função, neste outro gráfico aqui ao longo de todo este intervalo.