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Transcrição de vídeo
Vamos ver um pouco mais sobre as derivadas de algumas das funções mais comuns. Nós não vamos deduzi-las neste vídeo, mas vamos tentar entender o que são as derivadas. Primeiro, vamos começar com as funções trigonométricas. Se nós fizermos a derivada em relação a x, da função seno de x, isso vai ser igual ao cosseno de x. E, se você observar os gráficos, esse resultado faz sentido, intuitivamente. Novamente, eu não a deduzi aqui, mas é importante saber que a derivada de seno de x é o cosseno de x. E quanto à derivada de cosseno de x? Qual é a derivada em relação a x, na função cosseno de x? Bem, isso será o seno de x negativo. Então, a derivada do seno é o cosseno, e a derivada do cosseno é o seno negativo. Finalmente, a derivada da tangente de x é igual a um sobre o cosseno ao quadrado de x, que é, por sua vez, igual à secante ao quadrado de x. Mais uma vez, é importante saber essas coisas. Vamos falar um pouco sobre exponenciais e logaritmos. A derivada... -- e esse é um dos resultados mais legais, que mostra novamente como o número e é legal -- ...a derivada com relação a x, de e elevado a x -- rufem os tambores! Essa é uma das coisas mais legais da matemática. A derivada de e elevado a x é: e elevado a x. Agora, o que isso está nos dizendo? E eu preciso fazer uma pequena pausa, porque isso é muito empolgante. Vamos fazer um gráfico de e elevado a x. Esse é meu eixo y. Esse é meu eixo x. Então, se eu tiver valores bastante negativos de x, ou seja, e elevado a um valor muito negativo, nos aproximamos de zero. E e elevado a zero é um. Então vai ser um aqui. O gráfico vai se assemelhar a isso. É uma exponencial. Ela vai começar a aumentar muito, muito, muito, muito rápido. Vamos supor que o gráfico de y é igual a e elevado a x. Isso quer dizer que em qualquer ponto, digamos que eu vá bem aqui. Quando x é igual a zero, e elevado a zero é um, qual é o coeficiente angular dessa linha tangente? O coeficiente angular é um também. Incrível! Se eu escolher x igual a um, logo aqui, a função avaliada aqui nos leva a e elevado a um. Ou só e. E qual é o coeficiente angular da linha tangente aqui? Também é e. Em qualquer ponto, o coeficiente angular da linha tangente é igual ao valor da função naquele ponto. Isso é incrível. Por isso e é tão legal. Bom, esse não é o ponto central deste vídeo. O propósito deste vídeo é catalogar as derivadas que você mais precisa. Finalmente, se pensarmos sobre a derivada em relação a x, do logaritmo natural de x, ela vai ser igual a -- e isso também é fascinante. Ela é igual a um sobre x. Ou x elevado a -1. Então, de alguma maneira, o logaritmo natural -- quando você toma sua derivada -- preenche o espaço que a regra da potência deixou vazio, que é: existe alguma função cuja derivada é igual a x elevado a -1? A regra da potência nos dá funções cujas derivadas são x elavado a -2, x elevado a -3, ou x ao quadrado, o x elevado a cinco. Mas ela não nos deu x elevado a -1, que é o logaritmo natural. Lembre-se que eu não fiz a dedução! Eu somente cataloguei estas para vocês. Assim podemos usar isso nos próximos vídeos, e mais tarde vamos deduzi-las.