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Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos ver derivadas de função exponencial compostas E para isso eu tenho um exercício aqui que é bastante clássico que é encontrar a derivada da função y = x elevado a x e queremos saber a derivada de y em relação assim e quando você olha para isso você vê que o expoente não é uma constante E aí não podemos simplesmente utilizar a regra de derivadas de polinômio Então como podemos resolver isso o truque aqui é aplicar o logaritmo natural a ambos os membros dessa equação isso Vai facilitar demais a nossa vida e eu vou explicar o porquê disso nos próximos vídeos mas aplicando o logaritmo natural a ambos os membros dessa equação nós vamos ficar com l i n d y = lnd x elevado a x e em que isso ajuda simples né a parte nós podemos utilizar uma regra importante de logarítimos esse expoente aqui pode vir para frente multiplicando o logaritmo Então vamos ficar com l i n d y = 6x Wesley sim e aí nós podemos aplicar a derivada em relação a x Em ambos os membros dessa equação ficando com a derivada em relação a x de l i n d y igual a derivada em relação a x l ndx nós devemos aplicar a regra da cadeia Qual é a derivada disso em relação a x ou seja qual é a derivada da função interna em relação a x é o que chamamos de diferenciação implícita e isso vai ser a mesma coisa que a derivada de y em relação a x vezes a derivada de sua e com relação a essa função interna a derivada do logaritmo natural de x é um sobre x então a derivada do logaritmo natural de y em relação a y vai ser um sobre y ou seja multiplicamos isso por um sobre y Isso vai ser igual a derivada disso aqui que podemos aplicar a regra do produto e aí vamos ter a derivada de x em relação a x quer um vezes a segunda a função que é Eliene deixe mas a derivada da segunda a função ou seja a derivada de lnd x que é um sobre x vezes a primeira função que é x e com isso vamos ficar com de y deixes vezes um sobre y = lnd x + 1 isso porque x / x vai dar um e ainda podemos multiplicar ambos os membros dessa a cor Y ficando com o de y sobre deste q = y que multiplica lnd x + 1 e se você não gostar desse Y aqui você pode substituir por isso E aí você vai ficar com de y sobre desse igual a x elevado a x que multiplica lnd x mais um esse é um exercício que interessante porque muitas vezes a luz olham para ele e pensam que é quase impossível resolver mas quando você aplica o logaritmo a ambos os membros da igualdade você pode ver que fica bem mais fácil de resolver e claro a minha ideia nessa aula é resolver uma equação ainda mais complicada mas ver a solução dessa aqui pode te ajudar a entender lá melhor deixa eu colocar ela aqui ao lado então nós temos a equação y = x elevado a x em o chi E nós queremos saber a derivada de y em relação a x basicamente nós vamos utilizar as mesmas ferramentas para resolver essa derivada ou seja de novo nós vamos aplicar o logaritmo Vamos ajeitar e depois aplicar a derivada então aplicando o logaritmo natural a ambos os membros dessa equação nós vamos ficar com l i n d y igual a l i n d hittin' elevado a x elevado assim e de novo aplicando O que chamamos de regra do Peteleco nós vamos ficar com l i n d y = x elevado a x vezes o lnd x mas ainda temos esse X elevado a x aqui e nós já vimos como derivado nesse exercício Claro você poderia aplicar novamente o logaritmo natural a ambos os membros e são mas aí ia começar a ficar uma coisa bastante complicada né o ideal é utilizar o que já temos aqui claro que se você não tivesse resolvido isso antes você teria que aplicar o logaritmo de novo mas como já temos esse resultado vamos continuar daqui então aplicando a derivada em relação a x a ambos os membros dessa equação vamos ficar com a derivada em relação a x DL n d y que é igual a derivada em relação a x de x elevado a x l i n d x e a derivada disso em relação a x é a derivada do logaritmo natural de y em relação a y o que é um sobre y vezes a derivada de y em relação a x que é de y sobre de xin ou seja nós utilizamos a regra da cadeia para derivar O que é igual a derivada disso que podemos utilizar a regra do produto Então deixa eu colocar isso aqui para não te confundir deixa eu colocar em outra cor então a derivada em relação a x 16 elevado a x que a primeira função vezes a segunda função que é lnd sim mas a derivada em relação a x da segunda a função que é lnd x vezes a primeira função que é x elevado a x e concentrando do lado direito a derivada disso aqui nós já conhecemos Então eu posso substituir aqui 6 elevado a x e multiplica lnd x + 1 e multiplicamos isso por lnd x mas a derivada de lnd x que é um sobre xxl me ache e claro ainda tem um um sobre y x de y sobre deixes do lado esquerdo e multiplicando ambos os membros dessa equação por y vamos ficar com de y sobre de x = y e multiplica sim elevado a x vezes lnd x + 1 que multiplica lnd x mas essa parte que eu posso resolver invertendo essa parte e aí eu vou ficar com 6 elevado a menos 1 e quem multiplicando por x elevado a x vamos ficar com x elevado a x menos 1 porque eu repeti a base e só mês expoente e claro se você não gosta desse Y aqui você pode substituí-lo por isso aqui ficando com de y sobre DX eu achei elevado a x elevado a x que multiplica X elevado a x l i n d x + 1 x l ndx mas x elevado a x menos 1 é uma resposta bastante complicada né mas se você não tivesse feito isso ia ficar mais complicada ainda tem fim eu espero que as aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal