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Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 36: Diferenciação logarítmicaExemplo resolvido: cálculo da derivada de funções exponenciais compostas
Neste vídeo, calculamos a derivada da função exponencial composta [ln(x)]ˣ em x=e. Funções exponenciais compostas são aquelas nas quais a variável se encontra tanto na base como no expoente da função.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Nós temos uma função "y" igual
ao logaritmo natural de "x", tudo elevado a "x". Queremos saber a derivada de "y"
em relação a "x" e qual o seu valor quando "x" for igual a "e". Como nós podemos atacar este problema? A primeira coisa que podemos fazer
é tirar o logaritmo de ambos os lados. Porque, se nós tirarmos o logaritmo
de ambos os lados, o logaritmo natural de "a" elevado a "b" é igual a "b" vezes o logaritmo natural de "a". Ou seja, se colocarmos o logaritmo
natural de "y", é igual a: o logaritmo natural do logaritmo natural de "x" elevado a "x". Isto vai ser igual a: o "x" passa aqui para a frente e nós temos: "x" logaritmo natural do logaritmo
natural de "x" deste lado, aplicando a regra que vimos aqui. E aqui temos o logaritmo natural de "y". Agora, podemos tirar a derivada
de ambos os lados. A derivada em relação a "x", deste lado, e a derivada em relação a "x" deste lado. A derivada do em relação a "x" deste lado,
vamos aplicar a regra da cadeia. Vamos derivar o logaritmo de "y"
em relação a "y", que vai ser 1/y, vezes a derivada de "y" em relação a "x", que é o que nós queremos saber. Deste lado, vamos aplicar a regra do produto. Temos a derivada de "x" em relação
a "x", que vai ser 1, vezes a segunda expressão, logaritmo
natural do logaritmo natural de "x", e agora, mais "x", vezes a derivada do segundo. Vamos aplicar a regra da cadeia. Vamos derivar o logaritmo natural
do logaritmo natural de "x" em relação ao logaritmo natural de "x", que vai ser 1 sobre o logaritmo natural de "x", vezes a derivada do logaritmo natural
de "x" em relação a "x", que é 1/x. E podemos simplificar este "x" com este "x". Podemos, agora, passar o "y"
para cá multiplicando e, então, vamos ter dy/dx. dy/dx vai ser "y" vezes toda esta expressão: logaritmo natural do logaritmo natural de "x", mais 1 sobre o logaritmo natural de "x". Ora, mas quem é o "y"?
O "y" é a expressão inicial Então, a derivada fica sendo: dy/dx vai ser igual a logaritmo natural de "x", tudo elevado a "x", que é a expressão inicial "y", então,
a colocamos aqui, vezes o logaritmo natural
do logaritmo natural de "x", mais 1 sobre o logaritmo natural de "x". E esta vai ser a derivada. Ele quer saber o valor da derivada
em relação a "x" quando "x" for igual a "e". Então, vamos calcular esta expressão. Vamos colocar, no lugar de "x", o valor "e", ou seja, o logaritmo natural de "e",
tudo elevado a "e", vezes o logaritmo natural
do logaritmo natural de "e", mais 1 sobre logaritmo natural de "e". Ora, o logaritmo natural de "e", eu estou perguntando qual é o número
que eu elevo a "e" para chegar ao próprio "e". Esse número vai ser 1. Temos 1 elevado a "e", que vai dar 1,
obviamente. Aqui nós temos o logaritmo natural
de "e", que é 1, e aí temos o logaritmo de 1,que vai ser igual a zero, mais 1 sobre o logaritmo natural de "e". Ora, o logaritmo natural de "e",
já vimos que é 1. Portanto, aqui, nós temos 1/1. Toda esta expressão, quando a derivada de "y" em relação a "x",
para x = e, vai ser 1 vezes 1, que é igual a 1. Espero que este vídeo tenha sido útil.