Exemplo resolvido: derivada de cos³(x) usando a regra da cadeia

RKA8JV - Vamos dizer que nós temos a função f(x) = cos³x. Nós também poderíamos escrever esta função como sendo (cosx)³. O que nós queremos fazer aqui, neste vídeo, é encontrar f'(x), ou seja, a derivada da função em relação a "x". Para fazer isso, nós podemos utilizar a regra da cadeia, e nós vamos ver como ela vai ser muito útil para resolver esse problema. Bem, antes de começar a resolver isso, vamos relembrar um pouco sobre como que é a regra da cadeia, que inclusive você pode encontrar em diversos livros de cálculo. Bem, o que nós temos aqui é uma função composta, certo? Já que nós temos uma função que está sendo elevada à terceira potência. Lembre-se que não é apenas um "x" que nós estamos elevando à terceira potência, nós estamos elevando à terceira potência o cos(x), ou seja, nós estamos tomando uma função, que você pode ver que é o cos(x), e aí nós colocamos uma outra função que eleva este cosseno de "x" ao cubo. Então, como nós temos uma função de uma função, nós temos uma função composta. Você poderia ver isso aqui como uma função, e nós vamos chamar esta função aqui azul de função "v" e chamar esta outra função de "u". Se nós estamos tomando u(x) na entrada, ou como a entrada para a função "v", esta é a saída bem aqui. Este vai ser "v(u(x))". Uma outra forma de reescrever esta função, na verdade, a gente pode reescrever isto de várias maneiras, é que isso aqui é a mesma coisa que v(cos(x)). Então, como este "v" é apenas uma entrada para esta função, basta a gente elevar este v(x) à terceira potência. Então, esta função "v" aqui, a única coisa que ela faz é elevar a função à terceira potência, ou seja, se você fosse escrever uma função v(x), nós teríamos um "x" elevado à terceira potência. A função u(x) nada mais é do que o cos(x). Então a função "u" toma o cosseno de alguma coisa, que, neste caso, vai ser o cos(x). E a função "v" eleva qualquer coisa ao cubo, e neste caso vai elevar o cos(x) ao cubo. Agora observando isso, como que nós poderíamos tomar a derivada desta função composta? Bem, para fazer isso nós vamos utilizar a regra da cadeia. Só para ficar claro aqui, podemos escrever uma função f(x) sendo igual a v(u(x)). Eu sei que eu estou dizendo a mesma coisa que eu já falei, mas eu estou falando isso agora de uma forma ligeiramente diferente, porque se é a primeira vez que você está aprendendo isto, pode ser um pouco difícil de entender, por isso, eu vou tentar escrever essas funções de diversas maneiras diferentes. Então, vamos ver como nós podemos derivar esta função aqui utilizando a regra da cadeia. Bem, se nós temos aqui f'(x), que é a derivada da função f(x), nós vamos ter que tomar a derivada de tudo isto aqui, então, f'(x) vai ser igual à derivada desta função composta, e isto, então, vai ser igual à derivada da função de fora, a derivada de v(u(x)), vezes a derivada da função interna, ou seja, u'(x). Esta aqui é a expressão para a regra da cadeia. Então como podemos avaliar tudo isso neste caso? Bem, o que nós temos que fazer aqui agora é determinar a derivada de "v(u(x))" e em seguida, a derivada de u(x). Uma coisa que nós temos que relembrar aqui, que a função "v" é apenas uma função que eleva as coisas à terceira potência, certo? Então, vamos determinar a derivada desta função. Eu vou escrever isso aqui utilizando uma notação diferencial, tudo bem? Mas você pode ver isso como uma derivada tranquilamente. Eu gosto de escrever de forma diferentes porque assim você consegue ter uma visão mais ampla sobre o mesmo assunto. Então, vamos lá, a gente vai ter aqui a derivada de v(x), então, a derivada de "v" em relação a "u", que é esta coisa bem aqui, vezes a derivada de "u" em relação a "x". Como eu já disse, é legal você ver todas essas notações para ficar familiarizado com todas elas, já que você pode ver essas diferentes notações em diferentes livros. Agora que já vimos essas notações e tudo isso, eu sei que você já deve estar até um pouco cansado de ficar imaginando tudo isso, ou seja, falando muitas coisas abstratas. Então vamos ver realmente como que a gente pode calcular isso. A gente vai querer aqui a derivada de "v" em relação a "u", então, eu vou reescrever este "v" aqui de uma outra maneira e este "u" também. Nós temos que lembrar que "v" é o (cosx)³, certo? Então, nós vamos tomar a derivada de "v" em relação a "u", então, nós temos a derivada do (cosx)³, em relação à derivada de "u", e "u" é apenas o cos(x), e vamos multiplicar isto com a derivada de "u", lembrando que "u" é o cos(x), em relação a "x". Nós já sabemos qual é a derivada do cos(x), certo? Nós já vimos isso antes. A derivada em relação a "x" do cos(x) vai ser igual a -sen(x). Então isso daqui, esta parte à direita, é tudo aqui igual a -sen(x). É muito legal você fica familiarizado com as derivadas dessas funções trigonométricas mais simples, ok? Bem, agora vamos tomar aqui a derivada do (cosx)³, só que agora vamos fazer isso em relação ao cos(x), tudo bem? Bem, agora o que esta coisa aqui significa? Se eu estivesse tomando a derivada, deixe-me escrever aqui, a derivada de x³ em relação a "x", isto aqui vai ser igual, o que a gente vai ter que fazer aqui? A gente vai colocar este expoente à frente, vezes o x². Ok, a noção mais geral que nós temos aqui é que se nós estamos tomando a derivada de alguma coisa e não importa o que seja, por exemplo, a gente poderia estar tomando aqui a derivada deste círculo laranja, deste círculo laranja elevado à terceira potência. Sendo assim, isto aqui vai ser 3 vezes o círculo laranja elevado ao quadrado. Então, se a gente pega derivada de alguma coisa elevada ao cubo em relação a essa coisa, isso vai ser igual a 3 vezes essa coisa elevada ao quadrado. E aqui no nosso caso, se a gente quer a derivada do (cosx)³ em relação ao cos(x), isso vai ser igual a 3 vezes o (cosx)². Ok, depois de todo esse trabalho, e eu sei que dá muito trabalho fazer isso, se nós queremos tomar aqui a derivada da função f(x), que é igual ao (cosx)³, a regra da cadeia nos diz que nós devemos tomar a derivada do (cosx)³ em relação ao cos(x) vezes a derivada do cos(x) em relação a "x". Isto aqui vai ser, então, igual a -3 vezes o sen(x) vezes o cos²x. Eu sei, foi um caminho muito longo, mas eu estou aproveitando este problema para explicar a regra da cadeia para você, que, basicamente, diz que para gente calcular a derivada de uma função composta basta calcular a derivada da função externa e multiplicar com a derivada da função interna. Dessa forma, a gente vai tratar esse cos(x) como se fosse um "x". Fazendo isso e calculando a derivada, nós vamos ter 3 vezes o (cosx)². E esta outra parte, que é a derivada da função interna, nós vamos fazer em relação a "x", e isso aqui vai ser igual a -sen(x).