Cálculo da derivada de polinômios

RKA4JL - Vamos supor que você tenha um polinômio f(x) igual a x⁵ mais 2x³ menos x² e você queira saber a inclinação dessa curva em um determinado ponto. O que você deve fazer? Você deve derivá-la em relação a x, ou seja, derivando f(x) em relação a x você terá a derivada desse polinômio x⁵ mais 2x³ menos x² em relação a x. Então você vai ter a inclinação que nós podemos escrever como f'(x) para qualquer valor de x, ou seja, a inclinação dessa função. Como é que nós derivamos? Nós derivamos a soma com uma soma das derivadas, portanto nós podemos pegar d/dx de x⁵ mais (d2³)/dx e aqui nós estamos subtraindo, então vamos ficar menos de (dx²)/dx. Como é que nós fazemos essa derivada? Na derivada de (dx⁵)/dx, nós subtraímos 1 do expoente e multiplicamos pelo que está no expoente, ou seja, aqui fica sendo igual a 5 vezes x⁴, que nada mais é do que 5 vezes x⁵⁻¹. Nós subtraímos 1 do expoente, pegamos o expoente e o passamos para cá, multiplicando. Então vamos ficar com f'(x) igual a 5x⁴ mais... Como é que nós vamos derivar esse aqui? Derivando (d2x³)/dx, nós podemos utilizar a outra propriedade da derivação que se nós temos uma multiplicação podemos passar a multiplicação para fora da derivada, ou seja, nós podemos dizer que é 2 vezes (dx³/dx). Ora, essa aqui já sabemos derivar. Passamos o 3 para frente, multiplicamos por x e decrementamos 1 no expoente. Portanto ficamos com 2 vezes 3 vezes x², que é 6x². Depois você vai se acostumar a fazer isso facilmente, pois esse 3 passa para cá multiplicando com esse 2. É o que nós fizemos aqui. Ou seja, vai ficar com 6x² menos a derivada deste aqui, que você já sabe. Esse 2 passa para cá multiplicando e decrementamos o expoente em 1. Então 2 menos 1 dá x¹, que é igual a x. E o que significa esse polinômio? Significa que nós temos a taxa de variação desse polinômio aqui em qualquer momento e também significa a inclinação da reta tangente em determinado instante. Vamos supor que você queira saber qual é a taxa de variação, como ele está inclinado no ponto 2, por exemplo. No ponto 2 nós vamos ter 5 vezes 2⁴ mais 6 vezes 2² menos 2 vezes 2. Ora, 2⁴ é 16, vezes 5 dá 80, 4 vezes 6, 24, e 2 vezes 2, 4, então -4. A inclinação desse polinômio no ponto 2 vale 100, o significa que ele está muito inclinado, o que faz sentido porque aqui nós estamos com o expoente 5 e aqui nós estamos com o expoente 3 e -1 com x no expoente 2, ou seja, ele tem uma inclinação muito alta. Então esta é a inclinação desta função neste instante em que x vale 2.