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Transcrição de vídeo

o número e tem uma infinidade de propriedades interessantes ele é definido como limite quando ele tende ao infinito de um mais um sobre n elevado à enésima potência e também pode ser definido como o limite quando ele tende a zero de um mas n elevado a 1 sobre n o foco deste vídeo é tratar de uma das incríveis propriedades do número e que é a mais utilizada no cálculo que é a idéia de que a derivada de e elevado x em relação à x é igual a o próprio elevado x vamos analisar um pouquinho antes de fazer a demonstração de que isso é verdade temos aqui uma parte do gráfico de y igual à elevada x o que temos aqui é que a derivada de elevada x em relação à x é igual ao próprio elevado x isso para qualquer valor de x isso se traduz no fato de que a inclinação da reta tangente ao gráfico de elevador x em qualquer ponto é igual ao elevado x vamos vir aqui no gráfico quando o valor da função é um é a inclinação da reta tangente também é um por outro lado aqui neste ponto em que o valor da função é 2 a inclinação da reta tangente também é 2 aqui o valor da função é 4 ea inclinação da reta tangente também é quatro e nós vamos agora trabalhar para mostrar que isso de fato é verdade vamos primeiro voltar a definição da derivada de elevada x em relação à x que é o limite com delta x tendendo a zero de elevado à x + delta x - e elevado à x sobre o delta x vamos fazer alguma manipulação algébrica aqui para ver se conseguimos chegar a algum lugar interessante isso tudo vai ser igual ao limite quando delta x tende a zero e vamos começar usando uma propriedade das potências escrevendo aqui elevado x vezes e elevado a delta x lembre se de que a multiplicação de potências com base iguais pode ser transformada em uma única potência com a soma dos points eu estou na verdade fazendo o caminho contrário isso tudo menos elevada x sobre delta x para ficar claro eu reescrevi esta parte como esta expressão aqui no numerador eu posso verificar que eu coloco o elevado à x em evidência faturando e como neste limite o delta x não afeta o elevado x eu posso colocar o elevador x como um fator fora do limite vamos ter então o elevado x que multiplica o limite com delta x tendendo a zero de elevado a delta x - um tudo isso sobre o delta x agora vamos fazer algo um pouco mais rico que é uma troca de variáveis vamos dizer qn é igual a elevado a delta x menos 1 que é justamente o numerador da expressão do nosso limite agora vou isolar o delta x nesta expressão laranja primeiro eu possa adicionar 1 aos dois membros da igualdade ficando com ele mais um igual a e levado até o tx e agora para isolar o delta x eu vou obter um lugar íntimo natural nos dois lados da igualdade e ficar com o lnd e mais um é igual a delta x agora na expressão do limite eu posso trocar o delta x por esta expressão aqui enquanto o numerador pode ser substituído simplesmente por n e o que vai acontecer com o limite quando delta x tende a zero o que acontece com n ou seja se o delta x tende a zero isso implica que o n tem dia o que vamos voltar aqui na definição do n quando delta x tende a zero temos e elevado a 0 que é um que menos 1 a 0 ou seja quando delta x tende a zero n também tende a zero ou seja se delta x tende a zero o n também tende a 0 e se o n tende a zero o delta x também tende a zero vamos reescrever tudo isto aqui então tudo aquilo vai ficar elevada x vezes o limite e agora como estou trocando as variáveis ao invés de delta x tendendo a zero vou escrever n tendendo a zero todo aquele numerador vai ser o n foi a partir daí que nós começamos esta parte algébrica sobre o delta x mas o delta x é ln dn mais um o que foi obtido a partir da manipulação algébrica que fizemos antes agora o que acontece se eu dividir o numerador e um denominador por ele vou multiplicar o número de dor e o denominador por um sobre n que é o mesmo o numerador evidentemente vai ficar igual a 1 no caso do denominador podemos usar aqui algumas propriedades do logaritmo escrevendo então mais organizadamente isso tudo vai ser igual a e elevado à x vezes o limite com n tendendo a zero de um sobre vez que o nosso numerador agora é 11 e para o denominador vamos usar propriedades dos logaritmos lembrando que às vezes o logaritmo natural de bebê pode ser restrito como um logaritmo natural do b elevado a aplikando nosso denominador vamos ter então que eles se transformem lnd um mais n em vez de verem mas não estou escrevendo mas n elevado a 1 sobre ele que era aquele fator multiplicando logaritmo antes agora você pode começar a perceber que existe algo aqui que está se tornando um pouquinho mais familiar o que nós temos no lugar de tite mandou aqui é exatamente o que nós temos acima na definição do e neste limite e observe que trata se do limite com a mesma variável tendendo a zero n tendendo a zero podemos usar propriedades dos limites aqui vamos começar observando que o numerador que é um não se afeta pelo n que é o que está definindo limite o que vai ser afetado pelo n tendendo a zero é o que está no lugar intimando do denominador podemos rescrever então aquela expressão como elevada x vezes um sobre o ln agora vamos aplicar o limite do limite com n tendendo a zero de toda aquela expressão 1 mas n elevado a 1 sobre n agora podemos observar bem perguntar o que é que isso aqui representa para nós toda esta expressão dentro do lugar íntimo aqui isso não é nada mais nada menos que uma definição do número e é exatamente esta que está aqui acima ou seja isso tudo aqui é igual a e reescrevendo a expressão tudo isto vai ficar igual a e elevada x vezes 1 sobre o lnd e agora o que é mesmo o lnd e qual é o expoente que o dobro e alcançar o próprio e isso é um certo o lnd e é um é se isso é igual a 1 o resultado final de tudo isto que nós temos aqui é elevado à x e enfim nós conseguimos comprovar que é derivada de elevado x em relação à x é simplesmente igual ao próprio elevado x isso é mais uma propriedade incrível do número e até o próximo vídeo