Prova: a derivada de ln(x) é 1/x

RKA4JL - O que vamos fazer neste vídeo é provar que a derivada do ln de x em relação a x é, de fato, igual a 1 sobre x. Vamos começar retomando a definição de derivada. A derivada do ln x em relação a x é o limite, com delta x tendendo a zero, do (ln (x mais Δx) menos ln x) sobre Δx. Vamos agora utilizar algumas propriedades dos logaritmos. A primeira delas é a ideia de que o logaritmo natural de "a" menos o logaritmo natural de "b" é igual ao logaritmo natural de (a sobre b). Na verdade, isso acontece em qualquer base de logaritmo. O que temos aqui no numerador do nosso limite é uma situação parecida com essa, então o numerador pode ficar como ln ((x mais Δx) sobre x) e este ln sobre o Δx. Então o que fizemos aqui foi usar a ideia de que o logaritmo de uma expressão menos o logaritmo de outra expressão pela propriedade é o logaritmo do quociente da divisão de uma expressão pela outra. Olhando aqui no logaritmando, x dividido por x é 1 e Δx dividido por Δx é isso mesmo, então ficamos com 1 mais (Δx sobre x). Reescrevendo o limite, temos o limite com Δx tendendo a zero de (1 sobre Δx), eu só separei o denominador ali, vezes o logaritmo natural de (1 mais (Δx sobre x). Vamos agora utilizar uma outra propriedade dos logaritmos. Quando eu tenho "a" vezes o logaritmo de "b", em qualquer base, isso equivale a escrever o logaritmo de "b" elevado a "a". Observe que esse "a" multiplicando o logaritmo vira o expoente do logaritmando. Voltando ao nosso limite, o que temos é uma situação bem parecida, mas no lugar do que era a letra "a" no exemplo da propriedade, nós temos essa expressão 1 sobre Δx, que é uma constante e eu vou colocá-la como expoente no logaritmando. Ficamos então com o limite com Δx tendendo a zero do ln (e agora vou deixar aqui um espaço) da expressão (1 mais (Δx sobre x)), tudo isso elevado a (1 sobre Δx), que era o que estava multiplicando o logaritmo e veio como expoente agora. Eu espero que essa expressão esteja ficando familiar para você, porque ela está bem próxima da definição do número "e". Vou fazer uma mudança de variável aqui para ajustar as coisas. Vamos considerar n igual a Δx sobre x e nesta igualdade, multiplicando os dois lados por x, vamos ficar com nx igual a Δx. Eu já escrevi trocando os lados da igualdade e como consequência 1 sobre Δx vai ser igual a 1 sobre nx, o que equivale a escrever (1 sobre n) vezes (1 sobre x). Estas são todas as substituições que quero fazer em termos da troca de variável. Voltando ao nosso limite, quando dizemos que Δx tende a zero precisamos pensar no n. n tende a quanto? Observando que n é igual a Δx sobre x, se Δx tende a zero, então n também tende a zero, porque Δx tendendo a zero teríamos zero sobre x, que é zero e nós podemos usar isso já que x não é zero. Zero para x não está no domínio da função logarítmica, então não temos essa limitação. Conclusão: n tende a zero, já que o Δx tende a zero. Vamos agora reescrever o limite fazendo essas substituições, começando o limite com n tendendo a zero, não mais o Δx, estamos trocando as variáveis. Esse limite aplicado ao logaritmo natural de 1 mais... Agora em vez de Δx sobre x, eu vou escrever simplesmente n e tudo isso antes era elevado a (1 sobre Δx), então agora observe que 1 sobre Δx é igual a (1 sobre n) vezes (1 sobre x) na nossa troca de variáveis, então o expoente aqui fica (1 sobre n) vezes (1 sobre x). Vamos agora revisar e escrever novamente este limite. Limite com n tendendo a zero do logaritmo natural de (1 mais n) elevado a (1 sobre n), e tudo isso elevado a (1 sobre x). Observe os expoentes multiplicando e nós temos aquela propriedade da potência que se chama "potência da potência", que é o que nós estamos fazendo aqui. Agora vamos voltar àquela mesma propriedade do expoente. No logaritmando, ele pode ir na frente do logaritmo, multiplicando. Então esse 1 sobre x pode multiplicar ali na frente do ln. Mais ainda, eu posso colocar esse 1 sobre x na frente do limite, porque a variável para a qual estamos olhando no limite é n, n que tende a zero. Então 1 sobre x pode multiplicar fora do limite. Essa expressão toda fica igual a (1 sobre x) vezes o limite com n tendendo a zero do logaritmo natural de (1 mais n) elevado a (1 sobre n). Vamos, então, aplicar o limite. Isto vai ficar igual a (1 sobre x) vezes o logaritmo natural do limite com n tendendo a zero de (1 mais n) elevado a (1 sobre n). Usamos a ideia do limite da função composta aqui, mas agora aparece algo bastante interessante: tudo isso que eu estou destacando em branco é a definição do número "e". Então aqui isso tudo é igual a "e". E quanto é o logaritmo natural de "e"? Ora, é simplesmente 1. Então essa expressão toda fica igual a (1 sobre x) vezes 1, ou simplesmente (1 sobre x), que é exatamente o resultado ao qual queríamos chegar, que é a derivada do ln x em relação a x igual a simplesmente (1 sobre x). Até o próximo vídeo!