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Exemplo resolvido: derivada de ∜(x³+4x²+7) usando a regra da cadeia

Transcrição de vídeo

olá tudo bem nesse vídeo eu quero calcular com você a derivada da raiz quarta de x ao cubo mais 4 x ao quadrado mais sete uma coisa interessante é que quando você olha para essa função aqui e você deseja derivar de cara você vai perceber que você tem aqui uma função que está dentro de uma outra função essa função x ao cubo mais 4 x ao quadrado está aqui dentro dessa função raiz quarta então quando você tem uma função composta desse jeito em que uma função está tomando uma outra função e você deseja calcular a derivada dessa função composta acredito que a primeira coisa que vem à sua mente é o seguinte olha podemos utilizar a regra da cadeia e de fato isso é verdade quando você tem uma função composta desse jeito em que uma função está tomando uma outra função você pode derivar utilizando a regra da cadeia mas antes de calcular e utilizar a regra da cadeia vamos deixar essa raiz quarta de uma forma um pouco melhor de uma forma um pouco mais calculável e todos nós sabemos que quando a gente tem a raiz de alguma coisa basta pegar essa coisa e elevá a fração dessa raiz em que essa raiz é que está no denominador dessa fração por exemplo nós queremos calcular aqui a derivada em relação à x dessa raiz quarta de x ao cubo mais 4 x ao quadrado mais sete certo então o que nós queremos é que na verdade é calcular a derivada dessa função em que a gente tem aqui x ao cubo mais 4 x ao quadrado mais sete em que essa função está elevado a uma fração em que a gente tem nessa fração o numerador e quatro no denominador isso aqui é a mesma coisa que a raiz quarta dessa função aqui dentro beleza ok se a gente quer calcular essa derivada agora a gente tem uma função aqui dentro de uma outra função e como eu já falei agora tinha mesmo a gente pode fazer isso utilizando a regra da cadeia e para usar a regra da cadeia a gente pode dizer o seguinte que essa função aqui dentro seria uma função o dx e o que nós estamos fazendo que é pegando essa função o dx elevando a 1 sobre quatro beleza para derivar agora calculando a regra da cadeia a gente pode derivar a função de fora em relação a us e derivar essa função aqui de dentro em relação à x então isso vai ser igual a quanto à derivado então utilizando a regra da cadeia vai ser igual a derivada da função de fora em relação a 1 e para derivar função de fora nós podemos utilizar a regra da potência colocando esse expoente aqui na frente ea gente vai ter aqui um sobre 41 sobre quatro vezes tudo o que está ali dentro do jeitinho que está ou seja x elevado a 3 + 4 x ao quadrado mais sete isso é levado alguma coisa e levado à quanto como nós estamos usando a regra da potência a gente coloca que um sobre 4 - 1 só que um sobre quatro - um é igual a quanto a menos três quartos certo então a gente pode substituir tudo isso aqui por menos três quartos gente coloca que menos três sobre quadro então já derivamos a função de fora em relação ao aí a gente vai multiplicar essa função de fora pela derivada da função de dentro em relação à x ou seja derivada de um em relação à x ea derivada dessa função aqui em relação à x vai ser igual a quanto para a de levar essa função seja derivada de um em relação à x gente pode utilizar a regra da potência como colocando esse três aqui na frente então a gente vai ter três vezes x elevado a 3 - um kia 2 o mesmo aqui a gente coloca os dois aqui na frente então a gente vai ter duas vezes quatro e duas vezes 4 é 8 então mais 8 vezes x elevado a 2 - 1 que é ea derivada de 7 é zero já que sete é uma constante toda derivado de uma constante é sempre igual a zero então é derivada que pediu de x em relação à x vai ser igual a três vezes x elevada ao quadrado mais 8 x gente pode até colocar isso aqui já que na frente então tudo isso vezes três vezes xl do quadrado mais 8 x beleza calculamos a derivada dessa função utilizando a regra da cadeia nem vamos fazer um pequeno exemplo aqui agora vamos supor que a gente tem a nossa função fdx em que essa função fdx é exatamente aquilo ali arraes quarta de x elevado a 3 ou seja estes ao cubo mais quatro vezes x ao quadrado mais sete então essa é a nossa função e vamos supor que a gente queira calcular a derivada dessa função em x igual a -3 bem nós já calculamos aqui é derivada da função então basta pegar essas precisamos substituir x por menos três então nós vamos ter aqui um sobre quatro vezes x elevado ao cubo -3 elevado ao cubo é igual a menos 27 mais - 3 e levado ao quadrado é igual a 9 positivo e quatro vezes 9 é igual a 36 isso mais sete e levado à menos 3 sobre quatro vezes aqui também a gente vai ter menos três e levado ao quadrado que 93 vezes nova igual a 27 27 - por que a gente vai ter oito vezes menos três e oito vezes menos três é igual a menos 24 então vai ser mais - 24 que é - 24 - 27 mais 36 mais sete é igual a 16 já que 27 mas 7 - 20 - 21 mais 36 e 16 então tudo isso daqui é igual a 16 e 27 - 24 é igual a 3 então a gente vai ter o quarto vezes 16 elevada - 3 sobre quatro vezes três então isso aki vai ser igual a um quarto vezes três a três quartos três quartos vezes vezes quanto em aqui a gente vai ter 16 certo aqui a gente não tem menos três sobre quatro a gente pode dividir isso aqui já que a mesma coisa que 16 e levar a 1 sobre quatro elevado a -3 lisa lembre se que todas as vezes que a gente tem uma potência de uma potência a gente pode repetir a base que é 16 em multiplicar os expoentes se a gente pode fazer isso a gente pode fazer o contrário de lembrar desse jeito aqui 16 e levado a um quarto é a mesma coisa que a raiz quarta de 16 arraes quarta de 16 é igual a 2 então isso daqui é 2 e 2 elevado a -3 é a mesma coisa que um sobre dois elevado a 3 e 2 elevado a 3a igual a oito então tudo isso daqui é igual a 1 sobre o 8 então a gente vai ter três dividido por quatro vezes um sobre 83 vezes um e três e quatro vezes 8 é igual a 32 então essa daqui seria a resposta a derivada dessa função no ponto x igual a menos três é igual a 3 sobre 32 ou seja a inclinação da reta tangente que passa por essa função nesse ponto x igual a -3 vai ser igual a 3 sobre 32 então se a gente pro tac um gráfico com essa função nesse ponto x igual a menos três nós vamos encontrar uma reta tangente em que essa reta tangente tem uma inclinação igual a 3 sobre 32