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Transcrição de vídeo

RKA - Esse aqui ao lado é um retrato de René Descartes. Mais uma vez, uma das grandes mentes tanto em matemática como em filosofia. E acho que você vai ver aqui um pouco de uma tendência de que os grandes filósofos foram, também, grandes matemáticos e vice versa. E ele era meio contemporâneo de Galileu. Era 32 anos mais jovem, embora tenha morrido um pouco depois de Galileu. Ele morreu muito, muito, muito mais jovem. Galileu estava bem nos seus 70 anos, Descartes morreu com apenas 54 anos de idade. E, provavelmente, é mais conhecido na cultura popular por esta citação aqui. Uma citação muito filosófica. "Penso, logo existo." Mas queria também acrescentar, isso não está relacionado com álgebra, apenas acho que foi uma citação realmente maravilhosa e, provavelmente, a sua frase menos famosa. Esta aqui em cima e gosto dela porque é muito prática. Faz você perceber que esses grandes mestres, essas mentes, esses pilares da filosofia e da matemática, no fim do dia, eles eram apenas seres humanos e ele disse: "Apenas continue tentando. Fiz todos os erros que poderia ter feito, mas continuei tentando." Que acho que é uma orientação de vida muito, muito boa. Agora, ele fez muitas coisas em filosofia, em matemática, mas a razão pela qual estou incluindo aqui, conforme formamos nossos fundamentos de álgebra, é que ele é a pessoa com mais responsabilidade por uma forte ligação entre álgebra e geometria. Então, aqui à esquerda você tem a palavra álgebra, já discutimos isso um pouco. Você tem equações que tratam de símbolos e esses símbolos são, essencialmente, eles podem assumir valores. Você pode ter algo como y = 2x -1. Isso nos representa uma relação entre o que seja "x" e o que seja "y". E podemos até mesmo definir uma tabela aqui e escolher valores para "x" e ver quais seriam os valores de "x", quer dizer, de "y". Só posso escolher valores aleatórios para "x", em seguida descobrir qual é o de "y". Mas vou escolher valores relativamente simples de maneira que a matemática não fique complicada. Por exemplo, se "x" é igual a menos 2, Então, "y" vai ser 2 vezes -2, menos 1. 2 vezes -2 , menos 1 que é -4, -4, menos 1 que é -5. Se é "x" menos 1, então, "y" vai ser duas vezes -1, menos 1 que é igual a isto, que é -2, menos 1 que é -3. Se "x" é igual a zero, "x" igual a zero, então "y" vai ser duas vezes 0, menos 1, 2 vezes 0 -1 é simplesmente -1. Vou fazer mais alguns. Se "x" é um, eu poderia pegar qualquer valor aqui, diria o que acontece se "x" é menos a raiz quadrada de 2. Ou que acontece se "x" é menos 5 meios ou positivo, positivos seis, sétimos. Mas estou só pegando esses números porque a matemática se torna muito mais fácil quando tento descobrir o que "y" vai ser. Mas quando "x" é 1, "y" vai ser 2 vezes 1, menos 1. 2 vezes 1 é 2 menos 1. E vou fazer mais um, na cor que ainda não usei, vamos ver esse roxo. Se "x" é dois, então "y" vai ser 2 vezes 2, menos 1. Menos 1. Agora que "x" é 2, de forma que 4 menos 1 é igual a 3 que está certo. É um tipo de exemplo dessa relação. Mas, beleza. Isso descreve uma relação geral entre a variável "y" e uma variável "x". E, então, eu fiz um pouco mais concreto, eu disse: "ok". Se x é uma dessas variáveis para cada um desses valores de "x", qual seria o valor correspondente de "y"? E o que Descartes percebeu é que você poderia visualizar isso. O que poderia visualizar são pontos individuais, mas que também poderia ajudar no geral a visualizar essa relação. O que ele fez, essencialmente, foi a ponte do mundo desse tipo de álgebra simbólica, muito abstrata, e isso. E a geometria que se preocupava com formas, tamanhos e ângulos. Assim aqui tem a palavra, você tem a palavra geometria. E, logicamente, há pessoas na história, talvez muitas pessoas, que a história pode ter se esquecido que devem ter se envolvido com isso. Mas, geralmente, Descartes é considerado anterior. Essa geometria era geometria Euclidiana. E essa é, essencialmente, a geometria que estudou nas aulas de geometria do currículo do ensino médio. E essa é a geometria para estudar as relações entre triângulo e seus ângulos e as relações entre círculos. E você vai ter raios e, então, ter triângulos inscritos em círculos e todo o resto. E vamos discutir com alguma profundidade na lista da geometria. Mas Descartes diz, bem, acho que posso representar isso visualmente da mesma forma que Euclides estudou esses triângulos e esses círculos. Ele disse: "Por que não posso? Se vemos um pedaço de papel, se pensamos sobre um plano bidimensional?" Você poderia ver um pedaço de papel como uma espécie de uma seção de um plano bidimensional. Chamamos isso de duas dimensões porque há duas direções em que pode ir. Existe a direção para cima e para baixo. É uma direção, vou desenhar isso, vou fazer em azul porque eu estou tentando visualizar as coisas. Vou fazer isso em cor geométrica. Então, você tem a direção para cima e para baixo e tem a direção de esquerda, direita. Por isso, é chamado de plano bidimensional. Se estivermos tratando com três dimensões, você tem uma dimensão dentro e fora. E é muito fácil fazer duas dimensões na tela porque a tela é bidimensional. E ele diz: "Bom, você sabe que tem duas variáveis aqui, elas têm essa relação, mas por que não associar cada uma dessas variáveis com uma dessas dimensões aqui?" E, por convenção, vamos fazer a variável "y" que realmente é a variável dependente. A forma que fazemos isso depende do que seja "x". Então, vamos por isso no eixo vertical e vamos colocar nossa variável independente, aquela para a qual, aleatoriamente, escolho valores para ver em que se transforma o "y". Vamos pôr esse no eixo horizontal. E, na verdade, isso foi Descarte quem propôs, a convenção de usar "x" e "y" E, veremos mais tarde, "z" em álgebra, por extensão, como variáveis desconhecidas, com as variáveis que você está trabalhando. Mas ele diz: "Se penso sobre isso dessa forma, se enumerarmos essas dimensões." Vamos dizer que na direção "x", vamos fazer isso exatamente aqui. - 3. Vamos fazer este -2, este é -1. Este é zero. Estou apenas numerando a direção "x", a direção esquerda para a direita. Agora, este é o 1, este é o 2, o 3. Todos positivos. E podemos fazer o mesmo na direção de "y". Vamos ver. Vamos lá. Assim, isto poderia ser, este é -5, -4, -3. Eu vou fazer melhor que isso. Deixa eu limpar isso aqui um pouquinho. Vou apagar isso e alongar isso um pouco mais para baixo. Assim, posso ir até ao menos 5 sem fazer parecer tão desarrumado. Então, vamos até o final aqui, então podemos enumerar. Este é 1, 2, 3 e este poderia ser -1, -2. E esses são somente convenção. Poderiam ter sido classificados de outra forma. Ter resolvido pôr um "x" aqui, ou "y" ali. E pôr isso na direção positiva e isso na direção negativa. Mas, é só uma convenção que as pessoas adotam, começando por Descartes. -2, -3, -4 e -5. E ele diz "Eu posso associar a alguma coisa, posso associar cada um desses pares de valores com um ponto em duas dimensões para tomar a coordenada "x". Posso tomar o valor de "x". Ok. Isso é -2, que poderia estar bem aqui ao longo da direção esquerda-direita. Estou indo para esquerda porque é negativo. Isso está associado com -5 na direção vertical. Digo que o valor é -5, então, se eu for 2 para a esquerda e 5 para baixo, tem esse ponto bem aqui. Então ele diz, esses 2 valores, -2 e -5, posso associá-los com este ponto, neste plano bem aqui, neste plano bidimensional. Então, eu vou dizer: esse ponto que tem as coordenadas, me diz onde encontro este ponto (-2, -5). E essas coordenadas são chamadas de coordenadas Cartesianas, denominadas, assim, por causa de René Descartes que foi quem propôs isso. Ele está associando de uma só vez as relações com pontos em um plano de coordenadas. Ele diz: "Ok, vamos fazer outra." Há esta outra relação quando "x" é igual a -1, "y" é igual a -3. Então, "x" é -1. "y" é -3 que é esse ponto bem aqui. E, mais uma vez, é convenção. Quando você enumera as coordenadas, enumera a coordenadora "x" e, então, a coordenada "y". É isso que as pessoas resolveram fazer. (- 1, -3) poderia ser esse ponto bem aqui. Então, tem o ponto quando "x" é 0, "y" é -1. Quando "x" é 0 bem aqui, significa que não vou para a esquerda ou para a direita. "y" é -1, que significa que vou 1 para baixo de forma que é este ponto bem aqui. (0, -1) E poderia continuar fazendo isso quando "x" é 1. "y" é 1. Quando "x" é 2, "y" é 3. Na verdade, eu vou fazer isso na mesma cor roxa. Quando "x" é 2 e "y" é 3. (2, 3) E esse é 1 bem aqui em laranja era 1. E isso está arrumado por si mesmo. Essencialmente, só exemplifiquei possíveis "x". Mas o que ele percebeu, não foi apenas fazer você exemplificar esses possíveis "x", mas continuar exemplificando os "x". Se tentasse exemplificar todos os "x" no intervalo, na verdade, acabaria traçando uma reta. Assim, se você fosse fazer cada "x" possível, acabaria fazendo uma reta que pareceria com alguma coisa assim bem aqui. E qualquer relação, se escolher qualquer "x" e encontrar qualquer "y", isso realmente representa um ponto nessa reta. Ou outra forma de pensar qualquer ponto sobre essa reta representa a solução para esta equação aqui. Então, se tiver esse ponto aqui que parece algo como "x" igual a um 1,5 e "y" é 2, deixa eu escrever isso, (1,5, 2) que é a solução para essa equação. Quando x é 1,5 temos que 2 vezes 1,5 é 3. Menos 1, 2. Que está bem aqui. De forma que, de repente, era capaz de cobrir esse vazio, essas relações entre álgebra e geometria. Podemos agora visualizar todos os pares de "x" e de "y" que satisfaçam esta equação. E, dessa forma, ele é responsável por fazer essa ponte. E, por causa disso, é que essas coordenadas que usamos para especificar esses pontos são chamadas de coordenadas Cartesianas. Conforme veremos o primeiro tipo de equação que vamos estudar nossa equação desta forma. E, no currículo tradicional da álgebra, são chamadas de equações lineares. Equações lineares. E você pode estar pensando: "Legal! Esta é uma equação que eu vou ver que esta é igual aquela por si só. Mas o que é tão linear nelas? O que as faz parecer uma reta? Para perceber porque são lineares tem que dar esse pulo que René Descartes deu porque, se estava traçando isto usando as coordenadas Cartesianas em um plano Euclidiano, você terá uma reta. E, no futuro, vai ver que há outros tipos de equações nas quais não vai obter uma reta.