Número de soluções de sistemas de equações: preços de frutas (1 de 2)

RKA - O conselheiro do rei, Arbegla, está acompanhando de perto essa discussão entre você, o rei e o pássaro. Ele começa a ficar com um pouco de inveja, pois é considerado o homem mais sábio do reino, o conselheiro preferido do rei. Ele entra na conversa dizendo: "Ok! Se você e este pássaro são tão espertos, porque não resolvem o mistério do preço das frutas?" E o rei diz: "Sim, este é um mistério que não conseguimos desvendar: o preço das frutas!" Arbegla fala para eles do mistério do preço das frutas. E o Arbegla diz: "Bom, queremos ficar de olho no preço das nossas frutas. Nós esquecemos de prestar atenção em quanto elas custam no mercado. Sabemos, porém, quanto gastamos no total e sabemos o número de frutas. Sabemos que, na semana passada, quando fizemos uma compra, trouxemos 2 kg de maçãs (2 quilos de maçãs), e 1 de banana (1 de bananas); e o custo total acabou sendo R$3,00 (o custo total foi 3 reais). E, na compra anterior, compramos 6 kg de maçãs... na compra anterior, 6 quilos de maçãs... e 3 de bananas (3 de bananas); e o custo total acabou sendo R$15,00 (o custo total foi de 15 reais). Com isso em mente, qual é o custo das maçãs e das bananas?" E você olha para o pássaro... o pássaro olha para você... e o pássaro sussurra no ouvido do rei, e o rei diz: "Bom, o pássaro diz: 'vamos definir algumas variáveis para que possamos representar algebricamente'". E você começa a fazer isso. Queremos achar o preço das maçãs e o preço das bananas por kg. Então, temos nossas variáveis: "a" vai ser o preço das maçãs por kg, e "b"... "b" será o preço das bananas por kg. Como interpretamos essa informação aqui? 2 kg de maçã e 1 (kg) de banana são R$3,00. Qual será o preço das maçãs? Vai ser 2 kg vezes o custo por kg, vezes "a". Esse será o custo total das maçãs nessa situação. E o preço das bananas vai ser 1 kg vezes o custo por kg; então, vai ser só "b". Esse será o custo total das bananas porque sabemos que foi só 1 kg de bananas. Então, o custo total de maçãs e bananas vai ser: "2a + b". Sabemos que é R$3,00 (o custo foi de R$3,00). Agora, vamos fazer o mesmo com a outra ida ao mercado. 6 kg de maçãs... o custo total vai ser 6 kg vezes o preço por kg, "a"; e o custo das bananas vai ser... compramos 3 kg de bananas, o custo por kg, "b"... então, o custo total de bananas e maçãs vai ser igual a R$15,00. Como resolvemos isso? Podemos usar eliminação ou podemos usar substituição; podemos até fazer com gráficos. Vamos tentar usando eliminação primeiro. Primeiro, eu quero tentar eliminar a variável "a". Aqui, eu tenho "2a"; e, aqui, "6a". Se eu multiplicar essa equação inteira por "-3", "2a" vai se tornar "-6a". E, aí, vai ser fácil cancelar a variável usando isso. Então, vamos lá! Vamos multiplicar a equação inteira por "-3".... "-3" vezes "2a" é igual a "-6a". "-3" vezes "b" é igual a "-3b"; e, "-3" vezes 3 vai ser "-9". Podemos, simplesmente, somar as duas equações; ou somar o lado esquerdo desta equação ao lado esquerdo daquela, e o lado direito dessa ao lado direito daquela. Dessa forma, estamos, basicamente, somando a mesma coisa aos dois lados da equação verde, porque sabemos que é igual a isso. Então, vamos lá. Do lado esquerdo, "6a" e "-6a" se cancelam... mas, aí, acontece uma coisa interessante aqui. "3b" e "-3b" também se cancelam, e sobra "0" no lado esquerdo. E o que sobra no lado direito? 15 menos 9 é igual a 6. Esta equação é bizarra; anulamos todas as variáveis e só sobrou essa equação bizarra que diz que "0 = 6"! E sabemos que isso é falso. Como isso aconteceu? Como? Você diz: "Opa! Que que está acontecendo aqui?" E olha para o pássaro, porque o pássaro parece ser a pessoa mais sábia daquela sala, ou, pelo menos, o ser vertebrado mais esperto da sala. Então, o pássaro sussurra novamente na orelha do rei, e o rei diz: "Bom, parece que não tem solução e você deveria fazer o gráfico para entender o porquê". E você diz: "Opa! O pássaro é muito esperto! Vamos representar essas equações graficamente e tentar entender o que está acontecendo. O que você faz é pegar cada uma das equações, e coloca em forma de equação reduzida (a equação que nos dá o coeficiente angular e onde ela cruza o eixo "y"). Você diz: "Bom, vou resolver para 'b'". E quer resolver a primeira equação para "b". Daí, subtrai "2a" dos dois lados. Subtraindo "2a" dos dois lados da primeira equação, chega em "b = -2a + 3". Vamos resolver a segunda equação para "b". A primeira coisa que pode fazer é subtrair "6a" dos dois lados; vai chegar em... (vou fazer o cálculo mais para cá)... chega em "3b = -6a + 15"; e tudo isso pode ser dividido por 3. O resultado é "b = -2a + 5". A segunda equação... (vou voltar para aquele verde de antes)... é "b = -2a + 5". E nós não fizemos os gráficos ainda, mas podemos notar algo interessante que está acontecendo. As duas têm o mesmo coeficiente angular quando resolvidas para "b", mas interceptam "b" em pontos diferentes. Vamos fazer os gráficos para entender melhor a situação e traçar os eixos. Este é o meu eixo "b". Este é o meu eixo "a". A primeira equação intercepta "b" no 3. (um, dois, três, quatro, cinco...) A primeira intercepta "b" no 3, e tem um coeficiente angular de "-2". Andamos 1 para a direita, e 2 para baixo... (1 para direita, 2 para baixo)... A reta vai ser, mais ou menos, assim... (vai ser, mais ou menos, assim)... E, agora, vamos desenhar a verde. Na verde, "b" é interceptado no 5. Então, vai ser por aqui. Teremos o mesmo coeficiente angular: "-2". Ela vai ficar, mais ou menos, assim. E a gente vê, imediatamente, que o pássaro estava certo. Não tem solução porque as equações podem ser representadas como retas que não têm intersecção. Então, o pássaro está certo. Não tem solução. Não tem valor de "x" e "y" para qual tenha solução; ou seja, nenhum valor que faça "0" ser igual a "6". Não há valor possível; não tem intersecção para estas duas coisas. E você começa a perceber que Arbegla está tentando te enganar. Aí, você diz: "Opa! Arbegla está me dando uma informação inconsistente!" Este é um sistema de equações inconsistente. Chamamos de inconsistente o sistema de equações que não tem soluções, onde as retas não têm intersecção. Portanto, a informação está incorreta. Não podemos assumir que as maçãs ou bananas ... ou você está mentindo (o que é possível) ou você contou errado; ou o preço das maçãs e bananas mudou entre as duas compras (entre as duas idas ao mercado). Então, o pássaro sussurra na orelha do rei e diz: "Opa! Esse cara não é nada ruim nesse negócio chamado álgebra".