Raio, diâmetro, circunferência e π

RKA- O círculo é considerado a forma mais fundamental no nosso universo. Quando você olha o formato das órbitas dos planetas, quando olhas as rodas, quando olha para as coisas ao nível molecular, o círculo continua sempre aparecendo de novo e de novo e de novo. Então, será provavelmente muito proveitoso a gente entender algumas das propriedades do círculo. A primeira coisa quando as pessoas descobriram o círculo e, basta olhar para lua para ver um círculo, mas a primeira vez eles perguntaram quais são as propriedades de qualquer círculo? Devem ter mencionado, primeiro, que em um círculo todos os pontos são equidistantes do seu centro. Todos esses pontos, ao longo do seu contorno, são equidistantes daquele ponto central. Então, uma das primeiras coisas que alguém poderia perguntar é qual é a distância? Essa distância constante que tudo fica no seu centro? Isso aqui. Chamamos isso de raio. O raio do círculo é justamente a distância do centro para as bordas. Se aquele raio é três centímetros, então esse raio será três centímetros e este raio será três centímetros, não vai mudar nunca. Por definição, um círculo é feito de todos os pontos que são equidistantes do seu ponto central. E essa distância é raio. Bom, outra coisa interessante sobre isso, as pessoas poderiam dizer qual é a largura do círculo? Qual é a largura no seu ponto mais largo? Ou se você quiser cortar no seu ponto mais largo, qual será a distância bem ali? E não precisaria ser ali poderia, simplesmente, cortar no seu ponto mais largo aqui, não poderia cortar em um ponto qualquer como esse porque não seria na sua maior largura. Tem múltiplos pontos que poderia cortar na parte mais larga. Então, vimos o raio e a gente sabe que o ponto mais largo passa pelo centro do círculo e continua indo. Então, são na essência dois raios. Você tem um raio aqui em um outro aqui. Chamamos essa distância entre os pontos mais distantes do círculo de diâmetro. Então, aquilo é o diâmetro do círculo, ele tem uma relação bem simples com raio. O diâmetro é igual a 2 vezes o raio. Agora, a próxima coisa interessante que poderia se perguntar sobre um círculo é qual é o comprimento do círculo? Se fosse buscar a sua trena e fosse medir toda a volta em volta do círculo, assim, se fosse medir em volta do círculo, assim, qual seria essa distância? Chamamos isso de circunferência. Circunferência do círculo. Muito bem. Sabemos como o diâmetro e o raio se relacionam. Mas como a circunferência e, digamos, o diâmetro se relacionam? Se não está muito acostumado ao diâmetro é muito fácil descobrir como ele se relaciona ao raio. Há milhares de anos, as pessoas tiravam as medidas e ainda continuavam medindo as circunferências e os raios. E, digamos, que essas medidas não eram tão exatas, digamos que eles mediam a circunferência de um círculo e chegavam a um número próximo a 3. E, quando mediam o raio do círculo dali ou o diâmetro daquele círculo, eles diziam: "O diâmetro parece ser próximo a 1." Então, eles diriam, eu vou escrever aqui. Então, estamos preocupados com a relação. Vou escrever assim: a relação da circunferência com o diâmetro. O diâmetro. Então, digamos que você sabe, alguém tinha um círculo ali, digamos que alguém tinha esse círculo e, na primeira vez, sem uma boa trena, mediram a circunferência e disseram: "Opa. Dá, aproximadamente, 3 metros." Quando eu dou uma volta completa nele e quando meço o diâmetro do círculo o valor é aproximadamente igual a 1. Beleza, interessante. Talvez, a proporção da circunferência com diâmetro seja 3. Então, talvez a circunferência seja sempre 3 vezes o diâmetro. Isso foi para esse círculo. Mas digamos que eles mediram um outro círculo aqui. Desenhei um menor, digamos, que nesse círculo mediram a circunferência e concluíram que a circunferência é igual a 6 centímetros aproximadamente. Foi usada uma trena ruim para medir e, então, concluem que o diâmetro é cerca de 2 centímetros. E, novamente, a proporção entre a circunferência e o diâmetro era de aproximadamente 3. Tá legal. Isso é uma propriedade interessante dos círculos. Talvez, a proporção entre a circunferência e o diâmetro seja sempre constante para qualquer círculo. Então, disseram: "Vamos estudar isso ainda mais." Tiraram medidas mais precisas. Quando tiraram medidas melhores, disseram: "Opa, o meu diâmetro, definitivamente, é 1." Disseram: "Meu diâmetro definitivamente é 1, mas quando meço melhor a minha circunferência concluo que é mais perto de 3,1. E o mesmo ocorre para isso aqui, eles perceberam que a proporção é próxima de 3,1 e continuaram a medir melhor e melhor e melhor. E perceberam que estavam chegando a este número. Continuaram a medir melhor, melhor e melhor e estavam chegando ao número 3,14159. Continuaram a aumentar os dígitos do número, não acabava, era o número metafisicamente estranho e fascinante que não tinha fim. Então, como esse número era tão fundamental ao nosso universo porque o círculo é tão fundamental ao nosso universo, ele aparecia, ele aparecia em todos os círculos. A proporção entre o raio, o diâmetro e a circunferência era esse número mágico, como se fosse um número mágico deram um nome a ele, chamaram-no de Pi. Ou você pode lhe atribuir essa letra latina ou simplesmente essa letra grega. π (Pi), ele representa esse número que é certamente o mais fascinante número do nosso universo. Primeiro, ele aparece como a proporção entre a circunferência e o diâmetro, mas você vai aprender ao longo dessa jornada matemática, que ele aparece em todos os lugares. É uma dessas coisas fundamentais sobre o universo que fazem você pensar que afinal ele é organizado. Mas, de toda maneira, como a gente pode usar isso na nossa matemática básica? Então, a gente sabe e estou dizendo que a proporção entre a circunferência com o diâmetro, quando digo a proporção, literalmente, quero dizer que se dividir a circunferência pelo diâmetro, pelo diâmetro, você vai chegar ao π. π é apenas um número. Poderia escrever 3,14159, continuar assim sem parar. Porém, seria um desperdício de espaço e seria difícil de manusear, então todo mundo usa apenas a letra π. Então, como podemos relacionar isso? A gente pode multiplicar os dois lados disso pelo diâmetro e poderemos dizer que a circunferência é igual a π vezes o diâmetro. Ou como o diâmetro é igual a 2 vezes o raio, a gente poderia dizer que a circunferência é iguala π vezes 2, vezes o raio. Ou a forma mais comum de ver isso é igual a 2π r. Então, vejamos se a gente pode aplicar isso a alguns problemas. Digamos que tem um círculo como esse, tem um círculo como esse, e te dissesse que o raio, o raio aí é igual a 3. Então, 3. Vou escrever isso. Então, o raio é igual a 3. Digamos que é 3 metros, vamos colocar uma unidade, qual é o cumprimento do círculo? A circunferência é igual a 2 vezes π, vezes o raio. Então, vai ser igual a 2 vezes π, vezes o raio, vezes 3 metros que é igual a 6 metros vezes π ou 6π metros. 6π metros. Agora, você pode fazer a multiplicação disso. Lembre-se de que π é apenas um número. π e é igual a 3,14159 continuando sem parar. Então, se multiplicar 6 vezes aquilo, talvez chegue a 18 "vírgula" alguma coisa, alguma coisa, alguma coisa. Se você tem sua calculadora, poderia fazer isso, mas, para simplificar, as pessoas tendem a deixar esse número em termos de π. Agora, não sei quanto dá quando você multiplica o π por 6. Não sei se chega perto de algo como 19 ou 18, talvez, seja algo próximo a 18 "vírgula" alguma coisa, alguma coisa, alguma coisa. Não estou com a calculadora aqui, mas, ao invés de escrever aquele número, você só escreve 6π. Na verdade, acho que o número não vai passar da casa dos 19 ainda. Vamos fazer outra pergunta, qual é o diâmetro do círculo? Qual é o diâmetro? Bom, se esse raio é 3, o diâmetro é 2 vezes isso. Então, terá que ser 3 vezes 2 ou 3 mais 3 que é igual a 6 metros. A circunferência é 6π metros. O diâmetro é 6 metros, o raio é 3 metros. Agora, vamos fazer de outro jeito. Digamos que eu tenha um outro círculo, um outro círculo aqui. E diria que a sua circunferência é igual a 10 metros. Essa é a circunferência do círculo. Se fosse usar uma trena para ir em volta dele, alguém perguntasse qual é o diâmetro desse círculo? Bom, a gente sabe que o diâmetro vezes π, sabemos que π vezes o diâmetro é igual à circunferência. É igual a 10 metros. Então, para resolver isso, vamos dividir os dois lados dessa equação por π. O diâmetro seria igual a 10 metros sobre π ou 10 sobre π metros. E isso é apenas um número. Se você tem uma calculadora, poderia fazer a divisão de 10 por 3,14159, vai chegar em 3 "vírgula" alguma coisa, alguma coisa, alguma coisa metros. Mas isso é apenas um número e, para manter as coisas bem simples, mantemos dessa forma. E, agora, qual é o raio? Bom, o raio é igual à metade do diâmetro. Essa distância aqui é de 10 sobre π metros, se queremos a metade disso, se apenas queremos o raio, a gente só multiplica isso por 1 sobre 2. Então, tem 1 sobre 2, vezes 10 sobre π é igual a 1 sobre 2 vezes 10 ou só divide o numerador e o denominador por 2. Resulta em 5, então fica 5 sobre π. Então, um raio sobre isto é 5 sobre π. Nada muito sofisticado, eu creio que o que mais causa confusão nas pessoas é entender que π é só um número. π é igual a 3,14159, isso continua sem parar. Na verdade, existem milhares de livros escritos sobre π, então, não é como, não sei se tem milhares, estou exagerando. Mas você poderia escrever livros sobre esse número, mas ele é apenas um número. Tá bom? É um número muito especial e se quisesse escrever de um modo que você está acostumado a escrever números, poderia, literalmente, fazer essa multiplicação. Porém, na maior parte das vezes, as pessoas se dão conta de que preferem deixar as coisas em termos de π. Eu vou parar por aqui. No próximo vídeo, vamos calcular a área do círculo.