A propriedade distributiva com variáveis

RKA - Lá no início de seus estudos de matemática, possivelmente, você ficou familiarizado com a ideia de fator. Então, digamos aqui, por exemplo, que eu tenha um número arbitrário qualquer, o número 12. Nós podemos dizer que esse 12 é igual a um produto entre dois outros números. 12 é a mesma coisa, por exemplo, que 2 vezes 6, 2 vezes 6 é igual a 12. Então, como eu tenho aqui, 2 vezes 6, eu posso dizer que o 2 é um fator do 12, assim como o 6 também, o 6 é um fator do 12. Então, eu posso dizer que isso daqui é igual a 12, de forma fatorada. Ou seja, nós quebramos esse número 12 numa multiplicação de 2 outros números. E, lá na sua matemática antiga, possivelmente, você ouviu falar de fatores primos também. Isso aqui, é claro, número 6 não é um número primo. Nós vamos falar sobre isso, daqui a pouco. Porque é o seguinte, esse 6, na verdade, eu posso quebrá-lo ainda mais, como sendo 2 vezes 3, pois 2 vezes 3 é igual a 6. Eu posso dizer, então, que 12 vai ser igual a 2 vezes 2, vezes 3. E aí, eu posso dizer que isso daqui é o 12, na sua forma fatorada em fatores primos. Olha aí, ou seja, o 2, 2 e o 3, eles são fatores primos. Certo? Então, a ideia geral desse negócio de fatorar número é quando você consegue quebrar esse número em uma série de multiplicações. E quando você efetua essas multiplicações, retorna àquele valor original. O que nós vamos fazer agora é partir para o reino da álgebra! Fazer isso daqui, também, com expressões algébricas. Então, digamos que eu comece com uma expressão aqui, 2 + 4x, será que consigo quebrar isso numa série de outras multiplicações? Ou seja, numa multiplicação, digamos, entre um número e uma expressão algébrica ou entre 2 expressões algébricas? Será que eu consigo fazer isso com essa expressão aqui? Uma das coisas que a gente percebe é que o 2 é um fator comum. Então, posso colocar o 2 em evidência. Isso ficaria 2 vezes (1 + 2x). Você pode verificar fazendo distributiva, você vai ver que vai retornar para essa expressão original. Vamos fazer isso aqui, se eu fizer distributiva, 2 vezes 1, dá 2, e 2 vezes 2x dá 4x. Então, posso dizer, no reino da álgebra, que essa expressão aqui é a forma fatorada dessa outra expressão 2 + 4x, ou seja, o que eu fiz foi transformar essa expressão aqui numa multiplicação de dois de seus termos. Esse aqui virou um produto, 2 vezes 1 + 2x. Vamos fazer, agora, mais um par de exemplos, para você entender melhor como funciona. Então, digamos que, agora, eu tenha 6x + 3, não. 6x + 30, digamos. Então, nós temos essa expressão aqui. Agora, você pode se perguntar: "Será que eu posso quebrar esses dois termos dessa expressão aqui, de maneira que eu tenha fatores comuns?". 6x, na verdade, representa 6 vezes o x. E o 30? O "30", eu percebo que é um múltiplo de 6. Então, eu consigo dividir 30 por 6 dá 5. Logo, 30, ele seria 6 vezes 5. Eu teria 6 vezes x + 6 vezes 5. Você pode falar assim, nesse caso, eu posso colocar o 6 em evidência. Eu posso colocar na forma fatorada. Botar 6 vezes alguma coisa, ou seja, vou desfazer aqui a propriedade distributiva. O que eu fiz, por exemplo, eu vou fazer o contrário. Certo? Vou colocar esse 6 em evidência. Então, deixa até eu fazer numa cor diferente. Para ficar claro para você o que eu vou fazer, 6 está aqui, em amarelo. O que eu vou fazer é fazer 6 vezes uma outra expressão ali dentro. Vamos lá. Como eu tirei o 6 daqui, ele foi lá para frente, então, o que sobrou ali? Nesse primeiro termo sobrou apenas o x. E aqui, como eu tirei o 6, também, esse mesmo 6, vai me sobrar o quê? O 5, então, x + 5, 6 vezes x + 5. Agora, você pode verificar aplicando propriedade distributiva, que se eu fizer 6 vezes x e 6 vezes 5, eu vou ter 6x + 30, exatamente, essa expressão original aqui. Vamos fazer agora, uma pouquinho mais interessante. Vou colocar fração ali no meio envolvida. Eu quero fazer agora, 1 sobre 2, menos 3 sobre 2, vezes x. E agora? Como eu posso escrever isso daqui, na forma fatorada? Como eu posso, será que eu posso colocar uma coisa em evidência por aqui? Vamos lá! Como sempre, eu te encorajo a pausar o vídeo, e tentar você mesmo fazer primeiro. Mas, vamos lá! Nesse caso, eu percebo que consigo fatorar, nesse caso aqui, vamos escrever esses dois, esses dois temos aqui na forma fatorada. Posso escrever 1 sobre 2, como sendo 1 sobre 2 vezes 1, multiplicar por 1 não altera o resultado de nada. -1 sobre 2 vezes 3 vezes x, porque se eu multiplicar 1 sobre 2 vezes 3, eu tenho 3 sobre 2, multiplicado por x eu tenho aquele termo todo. Então, posso até fazer assim, colocar entre parênteses aqui, para ficar bem claro que eu fiz 1 sobre 2 vezes 3x. Aqui, como você pode perceber, eu posso colocar 1 sobre 2 em evidência. Posso tirar fora, aqui, fazer 1 sobre 2 vezes aquilo ali que sobrou. Então, posso reescrever essa expressão aqui sendo 1 sobre 2 vezes 1 - 3x, dessa forma aqui. Uma outra maneira de você abordar isso daqui, é o seguinte, eu percebo que consigo dividir por 1 sobre 2, ambos os termos. Isso aqui é um pouquinho mais complicado, porque estou lidando com frações aqui. Mas, perceba, 1 sobre 2 dividido por 1 sobre 2, por ele próprio, dá igual a 1. E, 3 sobre 2 dividido por 1 sobre 2 vai dar 3. E aí, eu retiro, claro, coloco em evidência esse 1 sobre 2, e vou ter 1 - 3, e multiplico por esse x aqui. Beleza? Está claro? Esse último jeito aí, pode ser um pouquinho confuso, mas é só para te dar uma noção de como funciona. Espero que você tenha entendido como funciona esse lance de fatoração. Vamos fazer mais um, só para a gente encerrar. Vamos dizer que eu tenho aqui "ay" + "ax", por exemplo. O que eu percebo é que o "a" é um fator comum em ambos os termos aqui. Então, posso muito bem colocar aquele "a" em evidência. Eu teria "a" vezes y + x. Certo? Você pode verificar, fazendo distributiva, se a gente não vai retornar para essa expressão, aqui, original, "a" vezes y, "ay", "a" vezes x, "ax". Então, eu teria novamente "ay" + "ax". Logo, a minha fatoração está corretíssima! Tranquilo? Então, até o próximo vídeo!