Nesta lição, foram apresentadas algumas estratégias para contabilizar de forma correta o número de possibilidades de escolha de um determinado problema e, em alguns casos, quais são essas possíveis escolhas.

As propostas mais comuns para solucionar tais situações podem ser a árvore de possibilidades, as tabelas de dupla entrada e a listagem de elementos de um conjunto, além do princípio multiplicativo.

Uma mesma situação pode ser abordada por meio de diferentes estratégias, pois isso, amplia as possibilidades de percepção, além de contribuir com o desenvolvimento do cálculo de probabilidades.

Vejamos o exemplo da compra de um aparelho celular por meio de $3$3 abordagens diferentes.

Suponha que uma determinada marca de celular tenha $4$4 modelos distintos (A1, A2, A3 e A4), com diferentes armazenamentos internos (32 GB, 64 GB e 128 GB).

Podemos, primeiramente, listar os elementos:

Também é possível organizar a listagem com base no armazenamento disponível em cada celular. Nesse caso, teríamos a seguinte listagem:

Após listar os elementos dos conjuntos, precisamos contá-los para determinar a resposta da situação. Independentemente do tipo de lista realizada (por modelo ou por memória), o resultado sempre é o mesmo.

Mas será que listar todos os elementos será sempre interessante? Não. Essa estratégia da listagem não é eficiente quando o número de elementos a serem combinados é demasiadamente grande.

A segunda estratégia que pode ser feita nesse tipo de situação é a elaboração de diagramas conhecidos como árvore de possibilidades. Isso pode ser feito com figuras ou letras para representar os elementos.

Árvore de possibilidades feita com base no modelo de celular:

Árvore de possibilidades feita com base na memória:

É importante perceber que os dois modelos de árvore de possibilidades têm a mesma quantidade de elementos.

Assim como na primeira maneira, a árvore de possibilidades pode não ser interessante se a quantidade de elementos for muito grande ou quando a necessidade for apenas saber quantos são os elementos, e não quais são.

Nesses casos, usaremos o princípio multiplicativo, que nos dará apenas quantos são os resultados. Veja a seguir.

Na primeira árvore de possibilidades, para cada modelo de celular havia $3$3 possibilidades de armazenamento; ou seja, o total de possibilidades é dado por $3 + 3 + 3 + 3 = 4 \times 3 = 12$3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, equals, 4, times, 3, equals, 12 possibilidades (note que o fator $4$4 indica o número de modelos, e o fator $3$3 indica os tipos de memória).

Na segunda árvore, para cada armazenamento havia $4$4 tipos de modelo de celular; ou seja, o total de possibilidades é dado por $4 + 4 + 4 = 3 \times 4 = 12$4, plus, 4, plus, 4, equals, 3, times, 4, equals, 12 possibilidades (sendo $3$3 os tipos de memória, e $4$4 os modelos de celular).

Observando o cálculo do princípio multiplicativo, é fácil verificar que a resposta é a mesma, pois a ordem dos fatores de uma multiplicação não altera seu resultado.

Outra alternativa que pode ser útil para se ter a quantidade e a descrição das opções seria a elaboração de tabelas de dupla entrada, como a que pode ser observada a seguir.

Também é possível explorar outra configuração da mesma tabela:

A organização retangular da tabela nos mostra as mesmas $12$12 opções já vistas pela árvore, bem como a listagem dos elementos e a quantidade calculada pelo princípio multiplicativo.

Usando a listagem, a tabela, a árvore de possibilidades ou algum outro raciocínio, o importante é conseguir pensar quantas são as possibilidades para um dado problema. Esse entendimento será muito útil no estudo das probabilidades e em análise combinatória.