Derivadas de segunda ordem (funções paramétricas)

RKA4JL - Aqui a gente tem duas equações paramétricas em que tanto x quanto y estão definidos em relação a t. Então se você colocar todos os possíveis valores de t nessas funções x e y, calcular o resultado e depois plotar no plano cartesiano a gente vai ter uma curva. O que a gente vai fazer neste vídeo é tirar a primeira derivada de y em relação a x e depois a segunda derivada de y em relação a x, tudo isso em termos de t. Então vamos lá. Para começar, vamos calcular a primeira derivada de y em relação a x. Nós já vimos como fazer isso em vídeos anteriores. Para fazer isso a gente tem que dividir a derivada de y em relação a t pela derivada de x em relação a t. Isso vai dar para a gente a derivada de y em relação a x. Então vamos fazer derivada de y em relação a t. Ela vai ser igual a... Vamos ver. A derivada de e elevado a 3t é só o e elevado a 3t e a derivada de 3t em relação a t vai ser 3, então coloco "vezes 3" aqui ou então só coloco o 3 aqui na frente. A derivado do -1, como é uma constante, vai ser igual a zero. Então dy/dt vai ficar 3e elevado a 3t, e agora a gente tem que calcular parte de baixo, que é o dx/dt. Vamos ver quanto será isso. dx/dt vai ser assim: a gente mantém o 3, a derivada de e elevado a 2t em relação a t vai ser e elevado a 2t mesmo, e a derivada de 2t em relação a t vai ser 2. Então isso aqui vai ficar 6e elevado a 2t. Isso aqui a gente tem como simplificar. Vai ficar ½, que é 3/6, então ½e elevado a (3t menos 2t). Só estou usando regra de potenciação aqui. 3t menos 2t vai dar 1t, então deixe-me apagar e colocar só 1t. ½ elevado a t, essa é a nossa primeira derivada de y em relação a x em termos de t. Agora, como a gente faz para calcular a segunda derivada de y relação a x? Vou colocar aqui a segunda derivada de y em relação a x. Para fazer isso a gente vai usar a mesma ideia de antes. Se quer calcular a taxa de mudança de alguma coisa em relação a x, você calcula a taxa de mudança dessa coisa em relação a t e divide pela taxa de mudança de x em relação a t. É exatamente isso que a gente vai fazer. A gente quer achar a derivada em relação a t (então vamos colocar isso aqui no numerador) dessa primeira derivada que a gente calculou aqui. Tudo isso sobre dx/dt. Isso aqui pode parecer um pouco confuso à primeira vista, então se você não entendeu muito bem o motivo disso aqui ser a mesma coisa do que a gente fez antes eu lhe encorajo a pausar o vídeo e pensar um pouco sobre isso. Pensa no que a gente fez aqui na primeira vez quando queríamos achar a derivada de y em relação a x. A gente calculou a derivada de y em relação a t e depois dividiu pela derivada de x em relação a t. Aqui nós queremos achar a segunda derivada de y em relação a x. Vou escrever aqui do lado, acho que ficará mais claro. Quando nós queríamos calcular a derivada, em relação a x, de y, isso era igual à derivada de y em relação a t sobre a derivada de x em relação a t. Agora a gente quer calcular a derivada em relação a x da primeira derivada, que era dy sobre dx. Então em todo lugar que antes tinha y a gente vai substituir por essa primeira derivada. Então vai ficar assim: no numerador, a derivada em relação a t de dy/dx porque isso era a derivada em relação a t de y. Deixe-me escrever isso de um jeito que fica mais fácil de entender. Eu vou tirar isso aqui e escrever assim. Derivada em relação a t de y. Então espero que tenha dado para perceber que onde tinha y agora a gente tem o dy/dx, e tudo isso vai estar sobre dx/dt. Isso pode parecer bem intimidador, mas quando a gente olha com calma dá para perceber que não é tão complicado assim. O que a gente está calculando é algo bem direto. Vamos ver. A derivada em relação a t da primeira derivada é só a gente ver aqui. A derivada de ½e elevado a t vai ser ½e elevado a t mesmo, e isso vai estar sobre a derivada de x em relação a t, que nós calculamos aqui, que é 6 elevado a 2t. E então a gente pode simplificar isso e ficar 1/12 vezes e elevado a (t menos 2t), que vai ficar 1/12 vezes e elevado a -t, que dá para a gente escrever assim: 1/12e elevado a t. E é isso, acabamos.