Derivação de equações paramétricas

RKA1JV - Aqui, nós temos equações paramétricas que dá essa curva interessante aqui. x = 2sen(1 + 3t), y = 2t³. Você substitui valores em "t" e acha os valores de "x" e "y" em cada ponto dessa curva. Agora, o que queremos saber é derivada de "y" em relação ao "x" em um determinado ponto. Ou seja, quando "t" vale -1/3, ou seja, a inclinação dessa curva em determinado ponto. Ora, como é que nós podemos fazer isso? Nós sabemos que podemos fazer dy/dx como sendo igual a dy/dt sobre dx/dt. Ora, quem é nosso dy/dt? Nosso dy/dt vai ser a derivada dessa função em relação a "t". Portanto vai ser 3 vezes 2, 6t². E quem vai ser nosso dx/dt? Nosso dx/dt vai ser a derivada dessa função e vamos utilizar a regra da cadeia. Ou seja, vai ser 2cos(1 + 3t) vezes a derivada que está aqui dentro, que vai ser igual a 3. Ou 2 vezes 3, 6, cosseno de 1 mais 3t. E assim nós conseguimos achar a derivada de "y" em relação a "x", ou seja, vai ser 6t² dividido por 6cos(1 + 3t). Podemos simplificar 6 com 6 e temos t² sobre cosseno de 1 mais 3t. Ele quer saber a inclinação dy/dx no ponto onde "t" vale -1/3. Nós temos -1/3² que vai dar 1/9, dividido por -1/3 vezes 3 dá -1, mais 1, vai dar zero. Cosseno de zero é 1. Portanto, a inclinação da nossa reta é 1/9. Como poderíamos plotar essa reta? Nós podemos fazer uma pequena tabela onde nós temos aqui o "t", nós temos o "x" e temos o "y". Quando "t" vale -1/3, nosso "x" vai valer -1/3 vezes 3, dá -1, -1 mais 1 dá zero e seno de zero é zero. Então "x" vale zero e "y" vai valer (-1/3)³ vai ficar -1/27, vezes 2 dá -2/27. Portanto, ele passa no ponto (- 2/27) quando é "y" e "x" for zero, ou seja, um ponto por aqui assim. E como a inclinação dessa curva é 1/9, se andarmos 4 para direita, ele sobe aproximadamente 1/2. Portando, 1, 2, 3, 4, e meio. E se acharmos 4 para a esquerda, ele desce 1/2. Então 1, 2, 3, 4 e meio, então vai ser uma reta que passa mais ou menos nesses dois pontos. E aqui nós temos a tangente da curva onde a inclinação é 1/9. Ou seja, nós achamos a inclinação de "y" em relação a "x" onde essa inclinação depende do tempo apenas porque nesse ponto ele é definido tanto o "x", quanto o "y", pelo tempo. Mas inclinação da reta é a derivada de "y" em relação a "x".