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Movimento ao longo de uma curva: como encontrar a taxa de variação

Dada uma partícula que se move ao longo da curva implícita x²y²=16 e dada sua taxa de variação em relação a x em determinado ponto, obtemos a taxa de variação de velocidade da partícula em relação a y usando a diferenciação implícita.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - "Uma partícula move-se ao longo da curva x²y² = 16, de modo que a coordenada horizontal (x) muda a uma taxa constante de -2 unidades por minuto. Qual é a taxa de mudança, em unidades por minuto, da coordenada vertical (y) quando a partícula se encontra no ponto (1, 4)?" Para começar, vamos apenas repetir ou reescrever o que eles nos disseram. A curva é descrita por x²y² = 16 Eles também nos dizem que a coordenada horizontal "x" muda a uma taxa constante de -2 unidades por minuto. Vamos escrever isso aqui. Seria o mesmo que dizer que a derivada de "x" em relação a "t" é igual a -2 unidades por minuto. O que eles querem que a gente descubra é a taxa de mudança da coordenada vertical "y". Então, o que eles querem é a derivada de "y" em relação a "t". Além disso, eles destacam que deve ser no ponto (1, 4). O ponto (1, 4) significa que o x = 1 e y = 4. Nós podemos configurar alguma equação que envolve a taxa de mudança de "x" em relação a "t", de "y" em relação a "t" e de (x, y)? Talvez possamos pegar a derivada desta relação que descreve a curva. E se nós fizéssemos a derivada em relação a "t" em ambos os lados? Vamos escrever isso. Derivada em relação a "t" em ambos os lados. E, se em algum momento você se inspirar, eu te encorajo a pausar o vídeo e tentar sozinho. Caso não consiga, volte aqui e continue resolvendo comigo. Aqui do lado esquerdo, nós podemos encarar isto como o produto de duas funções. Isto seria a derivada da primeira função, ou seja, 2x. Lembre-se que não estamos apenas fazendo a derivada em relação a "x", nós também estamos fazendo a derivada em relação a "t". Por isso, vamos ter que aplicar a regra da cadeia. Será a derivada de x² em relação a "t", que é 2x, vezes a derivada de "x" em relação a "t". Nós vamos multiplicar pela segunda função, que é y², mais a primeira função, que é x², vezes a derivada da segunda função em relação a "d". Vezes 2y. Em seguida, vamos multiplicar pela derivada de "y" em relação a "t". Isso vai ser igual à derivada em relação a "t" de 16. Mas, como isso não muda ao longo do tempo, vai ser igual a zero. Então, chegamos a isto. Nós sabemos o que queremos descobrir e agora temos apenas que substituir os valores aqui. Sabemos que "x" é igual a 1. Podemos substituir aqui. x = 1. 1² = 1. Sabemos que o "y" é igual a 4, e 4² = 16. E 2 vezes 4 = 8. E nós sabemos que dx/dt é igual a -2 unidades por minuto. Vamos reescrever aqui. Aqui temos 2 vezes -2 vezes 16. Isso nos dá -64.