Movimento ao longo de uma curva: como encontrar a magnitude da velocidade

RKA8JV - Uma partícula se move ao longo da curva "xy = 16" de modo que a coordenada "y" aumenta a uma taxa constante de duas unidades por minuto. Significa então, que a variação de "y" em relação a "t" é igual a 2. Qual é a magnitude em unidades por minuto do vetor velocidade da partícula quando a mesma se encontra no ponto (4, 4)? Antes de mais nada, vamos nos lembrar do vetor velocidade. Então, vamos ver como ele vai ficar. A velocidade vai ser uma função do tempo, e ela vai ter dois componentes, que vão ser a taxa de variação no eixo "x" e a taxa de variação no eixo "y". Então, a taxa de variação para o eixo "x" vai ser de dx/dt e para o eixo "y", dy/dt. No enunciado eles dizem que dy/dt é uma constante, 2 unidades por minuto, então, eles querem saber a magnitude do vetor velocidade da partida em questão. Vamos supor que a gente tenha um vetor "a" e o seus componentes são (b, c). A magnitude deste vetor, às vezes a gente encontra nessa notação entre duas barras também, vai ser √b² + c². Então, se a gente quer a magnitude do nosso vetor velocidade, ela vai ser a raiz quadrada do primeiro componente ao quadrado, dx/dt, mais o segundo componente ao quadrado, dy/dt. Como a gente calcula isso? Bom, a gente já sabe que a taxa de variação de "y" em relação a "t" é de 2 unidades por minuto, então, 2² é 4. Para achar dx/dt, a gente pode pegar a equação que descreve a curva, fazer a derivada dos dois lados em relação a "t", e aí a gente vai ter uma equação que envolve "x", "y", dx/dt e dy/dt. Então, vamos fazer isso. A gente tem a equação que é "xy = 16". A gente aplica a derivada dos dois lados. Do lado esquerdo, a gente vê isso como um produto de duas funções. "x" é uma função de "t" e "y" também é uma função de "t", então, a gente vai usar um pouco a regra do produto e um pouco a regra da cadeia. A derivada de "x" em relação a "x" é 1, vezes a derivada de "x" em relação a "t" vezes a segunda função que é "y'", mais a primeira função, "x", vezes a derivada de "y" em relação a "y", que é 1, vezes a derivada de "y" em relação a 't". E isso tudo a vai ser igual à derivada de 16. A derivada de uma constante é zero, então, igual a zero. Agora, a gente resolve isso para achar dx/dt. Pelo enunciado, a gente sabe que dy/dt = 2 e a gente sabe também que "x = 4" e "y = 4". A gente tem que "4dx/dt + 8 = 0", então, dx/dt = -2. Agora, a gente pode substituir esse valor para achar a magnitude da velocidade. Então, isso aqui é igual a -2, elevado a 2, igual a 4. Então, a magnitude da velocidade vai ser igual à raiz de 8, que é igual a 2√2 unidades por minuto.