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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 6
Lição 4: Movimento planar- Exemplo de movimento planar: vetor aceleração
- Movimento planar (cálculo diferencial)
- Movimento ao longo de uma curva: como encontrar a taxa de variação
- Movimento ao longo de uma curva: como encontrar a magnitude da velocidade
- Movimento ao longo de uma curva (cálculo diferencial)
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Movimento ao longo de uma curva: como encontrar a magnitude da velocidade
Dada uma partícula que se move ao longo da curva implícita xy=16 e sua taxa de variação em relação a y em determinado ponto, encontramos a magnitude do vetor velocidade da partícula, usando a derivação implícita.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Uma partícula se move
ao longo da curva "xy = 16" de modo que a coordenada "y" aumenta a uma taxa constante
de duas unidades por minuto. Significa então, que a variação de "y" em relação a "t" é igual a 2. Qual é a magnitude em unidades por minuto do vetor velocidade da partícula quando a mesma se
encontra no ponto (4, 4)? Antes de mais nada, vamos nos lembrar do vetor velocidade. Então, vamos ver como ele vai ficar. A velocidade vai ser uma função do tempo, e ela vai ter dois componentes, que vão ser a taxa de variação no eixo "x" e a taxa de variação no eixo "y". Então, a taxa de variação para o eixo "x" vai ser de dx/dt
e para o eixo "y", dy/dt. No enunciado eles dizem que
dy/dt é uma constante, 2 unidades por minuto, então, eles querem saber a magnitude
do vetor velocidade da partida em questão. Vamos supor que a gente tenha um vetor "a" e o seus componentes são (b, c). A magnitude deste vetor, às vezes a gente encontra nessa
notação entre duas barras também, vai ser √b² + c². Então, se a gente quer a magnitude
do nosso vetor velocidade, ela vai ser a raiz quadrada
do primeiro componente ao quadrado, dx/dt, mais o segundo componente
ao quadrado, dy/dt. Como a gente calcula isso? Bom, a gente já sabe que
a taxa de variação de "y" em relação a "t" é de 2 unidades por minuto, então, 2² é 4. Para achar dx/dt, a gente pode pegar a equação
que descreve a curva, fazer a derivada dos
dois lados em relação a "t", e aí a gente vai ter uma equação que envolve "x", "y",
dx/dt e dy/dt. Então, vamos fazer isso. A gente tem a equação que é "xy = 16". A gente aplica a derivada dos dois lados. Do lado esquerdo, a gente vê isso
como um produto de duas funções. "x" é uma função de "t"
e "y" também é uma função de "t", então, a gente vai usar
um pouco a regra do produto e um pouco a regra da cadeia. A derivada de "x" em relação a "x" é 1, vezes a derivada de "x" em relação a "t" vezes a segunda função que é "y'", mais a primeira função, "x", vezes a derivada de "y"
em relação a "y", que é 1, vezes a derivada de "y"
em relação a 't". E isso tudo a vai ser igual
à derivada de 16. A derivada de uma constante é zero, então, igual a zero. Agora, a gente resolve isso
para achar dx/dt. Pelo enunciado, a gente
sabe que dy/dt = 2 e a gente sabe também
que "x = 4" e "y = 4". A gente tem que
"4dx/dt + 8 = 0", então, dx/dt = -2. Agora, a gente pode substituir esse valor para achar a magnitude da velocidade. Então, isso aqui é igual a -2, elevado a 2, igual a 4. Então, a magnitude da velocidade vai ser igual à raiz de 8,
que é igual a 2√2 unidades por minuto.