Exemplo resolvido: derivação de funções polares

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exemplo sobre derivadas com coordenadas polares. Este exemplo diz o seguinte: Seja a função dada por r(θ) = 3θsen(θ) definida no intervalo em que 0 ≤ θ ≤ 2π. O gráfico de "r" em coordenadas polares consiste em dois loops, como mostrado na figura acima. Então, vamos pensar por que ele tem dois loops? Observando aqui, quando θ é zero, "r" é zero. Então conforme nosso θ aumenta, começamos a traçar esse primeiro loop, percorrendo todo o caminho até θ ser igual a "π". Então, nós traçamos este primeiro loop aqui, que vai de "θ = 0" até "θ = π". Aí, o segundo loop tem um raio maior, então, esses "r" são maiores quando estamos indo de "π" até 2π. E aí você pode dizer o seguinte: "bem, por que isto está assim?" Entre o sen(π) e sen(2π), esta parte bem aqui, vai ser negativa, então, ela vira aqui para esse lado, e a magnitude de "r" é maior e maior por causa deste 3θ aqui. Então, quando vamos de π até 2π, nós rastreamos o círculo maior. Bem, isso parece ser bem simples, mas vamos continuar lendo aqui. O ponto "P" está no gráfico de "r" e no eixo "y. Encontre a taxa de variação da coordenada "x" em relação a θ no ponto P. Ok, vamos pensar sobre isso um pouco. O problema nos fornece "r" em função de θ, e através disso podemos encontrar o que o problema está pedindo, que é a taxa de variação da coordenada "x" em relação a θ. Fazendo uma revisão sobre coordenadas polares, se esse é o nosso θ, este é o nosso "r". Isso seria um ponto em nossa curva para este θ. Agora, como você converte isto aqui em "x" e "y"? Bem, você pode construir um triângulo retângulo aqui. E sabemos, através da nossa trigonometria básica, que o comprimento desta base aqui vai ser a hipotenusa vezes o cos(θ). Então, vamos escrever isso. A nossa base vai ser a nossa coordenada "x", afinal, vamos estar no eixo "x". Então, a coordenada "x" vai ser igual à hipotenusa, que é "r" vezes o cos(θ). Se a gente quisesse a coordenada "y" como uma função de "r" e θ, teríamos que "y = rsen(θ)". Mas o problema não pediu isso, então, não vamos nos preocupar com isso agora. Então, temos que "x" é rcos(θ), mas nós queremos "x" puramente em termos de θ. Então, como fazemos isso? Bem, o que podemos fazer é pegar esta expressão aqui para "r", o próprio "r" é uma função de θ, e substituir neste "r" da coordenada "x". Assim, podemos escrever "x" em termos de θ, e isso vai ser igual a "r", que é 3θsen(θ) vezes o cos(θ). O que queremos, agora, é encontrar a taxa de variação da coordenada "x" em relação a θ em um ponto. Para isso, vamos apenas calcular a derivada de "x" em relação a θ. Portanto, x'(θ) é igual a, bem, eu tenho o produto de três expressões aqui. Eu tenho esta primeira expressão, 3θ, aí eu tenho o sen(θ) e também tem o cos(θ). Para resolver isso, a gente pode aplicar a regra do produto. Se você quiser usar a regra do produto como a expressão que tem três coisas, você vai, basicamente, utilizar o mesmo padrão que você usou quando o produto tinha apenas duas coisas. Então, vamos fazer isso aqui agora. A gente vai ter aqui, no primeiro termo, sendo igual à derivada da primeira das três expressões, vezes as outras duas expressões. Então vamos ter aqui 3 vezes o sen(θ) vezes o cos(θ), mais a derivada da expressão do meio vezes as outras duas expressões. Então, vamos ter aqui, 3θ vezes, bem, a derivada do sen(θ) é o cos(θ), aí, a gente é multiplica isso aqui com o cos(θ) também. Vamos ter aqui o cos²(θ), ou o cos(θ²). Agora, somamos isso com a derivada do último termo, que vai ser a derivada do cos(θ) vezes as outras duas expressões. Bem, a derivada do cos(θ) é o -sen(θ). Se você multiplicar -sen(θ) com 3θsen(θ), você vai ter -3 vezes θ vezes o sen²(θ). Bem, esta parte aqui já foi, mas queremos avaliar isso aqui no ponto "P". Então, qual é o valor de θ no "P"? Bem, o ponto "P" acontece em nossa primeira passagem. E assim, no ponto "P", tenhamos aqui θ sendo igual a π/2. Aí nós realmente só precisamos encontrar x'(π/2)? Bem, isso mesmo. Então vamos fazer isso aqui agora. Isso vai ser igual a 3sen(π/2), que é 1, vezes o cos(π/2), que é zero. Então, tudo isso é zero, mais 3 vezes π/2, isso é 3π/2, vezes o cos²(π/2), ou, cos(π/2)². Bem, isto é apenas zero também. Então até agora, tudo isso é zero. Aí isso menos 3 vezes π/2, que é -3π/2 vezes o sen²(π/2). Bem, quanto é o sen(π/2)? Isso é 1. E aí, ao elevar isso ao quadrado, ainda teremos 1. Então, tudo isso simplificado fica apenas igual a -3π/2. Agora, é sempre bom conferir se o que a gente fez aqui faz sentido, ou seja, de que a taxa de variação de "x" em relação a θ é realmente -3π/2. Vamos pensar no que está acontecendo aqui. A medida que "π" aumenta um pouco, o "x" definitivamente vai diminuir, então, faz sentido ter um negativo aqui. Bem aqui, a taxa de variação de "x" em relação a θ é -3π/2. Sendo assim, à medida que θ aumenta, o nosso "x" com certeza vai diminuir. Então, pelo menos isso faz sentido de forma intuitiva. Bem, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui, e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!