Introdução a funções vetoriais

RKA1JV - Digamos que eu tenha uma curva "c" e é descrito que ela pode ser parametrizada. Não posso dizer essa palavra. Digamos que "x" é igual a x(t), e "y" é igual a alguma função de y(t). Digamos que isso é válido para "t" estar entre "a" e "b". E "t" é maior ou igual a "a", então, inferior ou igual a "b". Se eu fosse apenas desenhar isso, deixa-me ver, eu poderia desenhá-lo assim. Estou ficando muito abstrato agora. Não é um exemplo muito específico. Este é o eixo "x", este é o eixo "y" e a curva digamos que é quando "t" igual a 1, então a curva pode fazer algo assim. Não sei o que faz, digamos que está por aí. Isto é "t", é igual a "b". Este ponto atual aqui será x(b). Essa seria a coordenada "x", você avalia essa função em "b", y(b). Isso é, claro, quando "t" é igual "a". a coordenada real em R², nas coordenadas cartesianas será x(1). Na qual é esta aqui. Já vimos isso antes, é apenas uma maneira padrão de descrever uma equação paramétrica. Ou curva usando duas equações paramétricas. O que eu quero fazer agora é descrever a mesma curva exata, usando uma função de valor vetorial. Se eu definir uma função de valor vetorial, e se você não se lembra o que são essas, teremos um pouco de revisão aqui. Deixe-me dizer que eu tenho um vetor valorizado função "r" e eu colocarei uma pequena flecha de vetor em cima disso. Em muitos livros didáticos, eles apenas irão negar, eles deixarão as funções de valor escalar não englobados. Mas isso é difícil de desenhar em negrito. Eu vou colocar um pequeno vetor no topo. Digamos que "r" é uma função de "t" e estes são vetores de posição. Eu estou especificando isso porque, em geral, quando alguém fala sobre um vetor, este vetor e este vetor são considerados equivalentes. Desde que tenham a mesma magnitude e direção. Ninguém realmente se preocupa com que os pontos inicial e final são tão longos quanto a direção é a mesma. E se seu comprimento é o mesmo. Mas quando você fala sobre vetores de posição, você está dizendo: "Não, esses vetores estão todos começando em zero, na origem". E quando você indica o vetor de posição, você está implicitamente dizendo: "Isso está especificando uma posição única". Neste caso, será no espaço bidimensional, mas pode ser no espaço tridimensional ou realmente 4, 5, o que quer que seja, em espaço dimensional. Quando você indica o vetor de posição, você está literalmente dizendo: "Ok, esse vetor literalmente especifica esse ponto no espaço". Vamos ver se podemos descrever essa curva como um vetor, uma função de valor de vetor de posição. Podemos dizer r(t) é igual a x(t), vezes o vetor da unidade na direção "x". O vetor da unidade obteve um pequeno cursor na parte superior, um pequeno chapéu, que é como uma flecha para isso. Isso apenas diz que é um vetor unitário, mais y(t) vezes "j". Se eu estivesse lidando com uma curva de três dimensões, eu teria mais e(t) vezes "k". Mas estamos lidando com duas dimensões aqui. E, assim, a maneira como isso funciona é que você está apenas levando seu para qualquer "t" e ainda vamos ter "t" maior ou igual a 1. Então, inferior ou igual a "b". E isso é exatamente o mesmo. Deixe-me apenas redesenhá-lo. Deixe-me desenhar nossas coordenadas, nossas coordenadas aqui, nossos eixos. Então, esse é o eixo "y" e esse é o eixo "x". Quando você avalia r(1), este é o nosso ponto de partida. Deixe-me fazer isso. r(a), talvez eu faça isso aqui. Nossa função de valores vetor de posição avaliada em "t" igual a "a", será igual a "ax" vezes nosso vetor de unidade na direção "x". Mais y(a) vezes o nosso vetor de unidade, na direção vertical ou na direção "y". O que isso vai parecer? x(a) é essa coisa bem aqui. Então x(a) vezes o vetor da unidade. Realmente, talvez o vetor da unidade seja tão longo, tenha um comprimento "a". Agora, só vamos ter um comprimento de x(a), nessa direção. O mesmo em y(a), vai ter um comprimento nessa direção. Mas a linha inferior, esse vetor aqui mesmo, se você adicionar estes valores dimensionados, desses dois vetores unitários, você vai ter algo parecido com isso. Vai ser um vetor que parece ser assim. Desse jeito. É um vetor, é um vetor de posição. E é por isso que estamos pregando na origem. Mas desenhando em posição padrão r(a). Agora o que acontece se "a" aumenta um pouco? O que é r(a) mais um pouco? Poderíamos chamar isso de r(a) mais Δ ou r(a) mais "h". Vamos fazer em uma cor diferente. Digamos, aumentamos um pouco, r(a) mais um pouco de "h", isso só vai ser x(a + h), vezes o vetor unitário "i", mais y(a + h), vezes o vetor da unidade "j". Para que se pareça, iremos um pouco mais abaixo na curva. E isso é como dizer a coordenada x(a + h) e y(a + h). Pode ser esse ponto ali mesmo, será um novo vetor de posição, não um vetor unitário. Estes não terão necessariamente um comprimento, e isso pode estar certo. Deixe-me fazer da mesma coisa que isso. Então pode ser como? Desse jeito. Isso aqui é r(a + h). Você vê como você continua aumentando o seu valor de "t" até chegar a "b", esses valores de posição. Vamos continuar especificando, nós vamos continuar a especificar pontos ao longo dessa curva. Uma curva, deixe-me desenhar uma curva de uma cor diferente. A curva parece ser assim, para se parecer, exatamente, com a curva que eu tenho aqui, por exemplo, r(b) vai ser um vetor que se parece com isso. Quero desenhar de forma relativamente direta. Esse vetor, ali mesmo, r(b), então, espero que você perceba isso. Olhe, esses valores de posição realmente estão especificando os mesmos pontos nessa curva como eixo original. Eu acho que fizemos uma parametrização direta para esta curva. Eu só queria fazer isso como um pouco de revisão, porque agora vamos entrar na ideia de adotar uma derivada desse vetor valorizado. Eu farei isso no próximo vídeo.