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Cálculo diferencial

Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5

Lição 7: Analisando concavidade e pontos de inflexão
Matemática
Cálculo diferencial
Análise de funções
Analisando concavidade e pontos de inflexão
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Análise da derivada de segunda ordem para encontrar pontos de inflexão

Google Sala de Aula
Aprenda como a derivada de segunda ordem de uma função é usada para encontrar os pontos de inflexão da função. Saiba quais erros comuns evitar no processo.
Podemos encontrar os pontos de inflexão de uma função pela análise de sua derivada de segunda ordem.

Exemplo: como encontrar os pontos de inflexão de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript

Etapa 1: calcular a derivada de segunda ordem
Para encontrar os pontos de inflexão de f, precisamos usar f, start superscript, prime, prime, end superscript:
f′(x)=5x4+203x3f′′(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)\begin{aligned} f'(x)&=5x^4+\dfrac{20}{3}x^3 \\\\ f''(x)&=20x^3+20x^2 \\\\ &=20x^2(x+1) \end{aligned}
Etapa 2: encontrar todos os candidatos a pontos de inflexão
Similar aos pontos críticos, estes são pontos em que f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 ou em que f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis é indefinida.
f, start superscript, prime, prime, end superscript é nula em x, equals, 0 e x, equals, minus, 1, e ela é definida para todos os número reais. Então, x, equals, 0 e x, equals, minus, 1 são nossos candidatos a pontos de inflexão.
Etapa 3: analisar a concavidade
IntervaloValor x de testef, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesisConclusão
x, is less than, minus, 1x, equals, minus, 2f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0f é côncava para baixo \cap
minus, 1, is less than, x, is less than, 0x, equals, minus, 0, comma, 5f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 2, comma, 5, is greater than, 0f é côncava para cima \cup
x, is greater than, 0x, equals, 1f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0f é côncava para cima \cup
Etapa 4: encontrar pontos de inflexão
Agora que sabemos os intervalos nos quais f é côncava para cima ou para baixo, podemos encontrar seus pontos de inflexão (isto é, onde a concavidade muda de direção).
  • f é côncava para baixo antes de x, equals, minus, 1, côncava para cima depois desse valor e, definida em x, equals, minus, 1. Então, f tem um ponto de inflexão em x, equals, minus, 1.
  • f é côncava para cima antes e depois de x, equals, 0, então ela não tem um ponto de inflexão ali.
Podemos conferir nosso resultado analisando o gráfico de f.
A função f é mostrada graficamente. O eixo x vai de 4 negativo até 4. O gráfico consiste de uma curva. A curva começa no quadrante 3, move-se para cima com inclinação decrescente até aproximadamente (1,3 negativo; 1), move-se para baixo com inclinação crescente até aproximadamente (1 negativo; 0,7), continua para baixo com inclinação decrescente até a origem, move-se para cima com inclinação crescente e termina no quadrante 1. O ponto em (1 negativo; 0,7), no qual o gráfico muda a inclinação, de para baixo com inclinação crescente, muda para baixo com inclinação decrescente, é o ponto de inflexão. A parte da curva à esquerda desse ponto é côncava para baixo, e a curva se move para cima com inclinação decrescente e então para baixo com inclinação crescente. A parte da curva à direita do ponto de inflexão é côncava para cima, e a curva se move para baixo com inclinação decrescente e então para cima com inclinação crescente.
Problema 1
Olga tinha que encontrar onde f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript tem pontos de inflexão. Esta é a solução apresentada por ela:
Etapa 1:
f′(x)=4(x−2)3f′′(x)=12(x−2)2\begin{aligned} f'(x)&=4(x-2)^3 \\\\\\ f''(x)&=12(x-2)^2 \end{aligned}
Etapa 2: a solução de f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 é x, equals, 2.
Etapa 3: f tem um ponto de inflexão em x, equals, 2.
A resolução de Olga está correta? Se não, que erro ela cometeu?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: não conferir os candidatos

Lembrete: não podemos assumir que todo ponto no qual f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (ou no qual f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis é indefinida) é um ponto de inflexão. Em vez disso, devemos conferir nossos candidatos para ver se a derivada de segunda ordem muda de sinal nesses pontos, assim como se a função é definida nesses pontos.
Problema 2
Roberto tinha que encontrar onde g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cube root of, x, end cube root tem pontos de inflexão. Esta foi a resolução apresentada por ele:
Etapa 1:
g′(x)=13x−23g′′(x)=−29x−53=−29x53\begin{aligned} g'(x)&=\dfrac13x^{-\frac23} \\\\\\ g''(x)&=-\dfrac29x^{-\frac53} \\\\ &=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}} \end{aligned}
Etapa 2: g, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 não tem solução.
Etapa 3: g não tem nenhum ponto de inflexão.
A resolução de Roberto está correta? Se não, que erro ele cometeu?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: não incluir pontos nos quais a derivada é indefinida

Lembrete: nossos candidatos a pontos de inflexão são pontos nos quais a derivada de segunda ordem é igual a zero e nos quais a derivada de segunda ordem é indefinida. Ignorar pontos em que a derivada de segunda ordem é indefinida frequentemente resultará em uma resposta errada.
Problema 3
Tom tinha que encontrar onde h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 4, x tem um ponto de inflexão. Esta foi a resolução apresentada por ele:
Etapa 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 4
Etapa 2: h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, 0, então x, equals, minus, 2 é um potencial ponto de inflexão.
Etapa 3:
IntervaloValor de x do testeh, prime, left parenthesis, x, right parenthesisConclusão
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, 2, right parenthesisx, equals, minus, 3h, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0h é côncava para baixo \cap
left parenthesis, minus, 2, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 0h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 4, is greater than, 0h é côncava para cima \cup
Etapa 4: h é côncava para baixo antes de x, equals, minus, 2 e côncava para cima depois de x, equals, minus, 2, então h tem um ponto de inflexão em x, equals, minus, 2.
A resolução de Tom está correta? Se não, que erro ele cometeu?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: analisar a derivada de primeira ordem, em vez da derivada de segunda ordem

Lembrete: ao buscarmos pontos de inflexão, sempre teremos que analisar onde a segunda derivada muda seu sinal. Fazer essa análise da derivada de primeira ordem nos dará pontos de extremo relativos, e não pontos de inflexão.
Problema 4
Considere g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 12, x, cubed, minus, 42, x, squared, plus, 7.
Para quais valores de x o gráfico de g tem um ponto de inflexão?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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