Conteúdo principal
Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5
Lição 7: Analisando concavidade e pontos de inflexão- Análise de concavidade (algebricamente)
- Pontos de inflexão (algébra)
- Erros ao encontrar pontos de inflexão: segunda derivada indefinida
- Erros ao encontrar pontos de inflexão: não verificar candidatos
- Análise da derivada de segunda ordem para encontrar pontos de inflexão
- Análise de concavidade
- Encontre pontos de inflexão
- Revisão de concavidade
- Revisão de pontos de inflexão
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Análise da derivada de segunda ordem para encontrar pontos de inflexão
Aprenda como a derivada de segunda ordem de uma função é usada para encontrar os pontos de inflexão da função. Saiba quais erros comuns evitar no processo.
Podemos encontrar os pontos de inflexão de uma função pela análise de sua derivada de segunda ordem.
Exemplo: como encontrar os pontos de inflexão de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript
Etapa 1: calcular a derivada de segunda ordem
Para encontrar os pontos de inflexão de f, precisamos usar f, start superscript, prime, prime, end superscript:
Etapa 2: encontrar todos os candidatos a pontos de inflexão
Similar aos pontos críticos, estes são pontos em que f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 ou em que f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis é indefinida.
f, start superscript, prime, prime, end superscript é nula em x, equals, 0 e x, equals, minus, 1, e ela é definida para todos os número reais. Então, x, equals, 0 e x, equals, minus, 1 são nossos candidatos a pontos de inflexão.
Etapa 3: analisar a concavidade
Intervalo | Valor x de teste | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusão |
---|---|---|---|
x, is less than, minus, 1 | x, equals, minus, 2 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0 | f é côncava para baixo \cap |
minus, 1, is less than, x, is less than, 0 | x, equals, minus, 0, comma, 5 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 2, comma, 5, is greater than, 0 | f é côncava para cima \cup |
x, is greater than, 0 | x, equals, 1 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0 | f é côncava para cima \cup |
Etapa 4: encontrar pontos de inflexão
Agora que sabemos os intervalos nos quais f é côncava para cima ou para baixo, podemos encontrar seus pontos de inflexão (isto é, onde a concavidade muda de direção).
- f é côncava para baixo antes de x, equals, minus, 1, côncava para cima depois desse valor e, definida em x, equals, minus, 1. Então, f tem um ponto de inflexão em x, equals, minus, 1.
- f é côncava para cima antes e depois de x, equals, 0, então ela não tem um ponto de inflexão ali.
Podemos conferir nosso resultado analisando o gráfico de f.
Erro comum: não conferir os candidatos
Lembrete: não podemos assumir que todo ponto no qual f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (ou no qual f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis é indefinida) é um ponto de inflexão. Em vez disso, devemos conferir nossos candidatos para ver se a derivada de segunda ordem muda de sinal nesses pontos, assim como se a função é definida nesses pontos.
Erro comum: não incluir pontos nos quais a derivada é indefinida
Lembrete: nossos candidatos a pontos de inflexão são pontos nos quais a derivada de segunda ordem é igual a zero e nos quais a derivada de segunda ordem é indefinida. Ignorar pontos em que a derivada de segunda ordem é indefinida frequentemente resultará em uma resposta errada.
Erro comum: analisar a derivada de primeira ordem, em vez da derivada de segunda ordem
Lembrete: ao buscarmos pontos de inflexão, sempre teremos que analisar onde a segunda derivada muda seu sinal. Fazer essa análise da derivada de primeira ordem nos dará pontos de extremo relativos, e não pontos de inflexão.
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.