Erros ao encontrar pontos de inflexão: não verificar candidatos

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um exemplo sobre erros ao encontrar pontos de inflexão. Esse exemplo diz o seguinte: Olga foi solicitada encontrar onde f(x) igual a (x menos 2) elevado à quarta potência tem pontos de inflexão. Essa daqui é a solução dela. O exemplo pede para olhar a solução de Olga e dizer se ela está correta. Caso contrário, qual foi o erro dela? Então pause este vídeo e veja se você consegue descobrir isso sozinho ou sozinha. OK, vamos observar o trabalho dela agora? Então aqui na primeira etapa ela está calculando a primeira e a segunda derivada da função. A gente consegue calcular a primeira derivada utilizando a regra da cadeia. Assim temos 4 vezes (x menos 2) elevado a (4 menos 1), que é 3, e isso vezes a derivada interna. A derivada de (x menos 2) é 1, sendo assim, temos que realmente a primeira derivada está correta. Agora a gente calcula a segunda derivada também e utilizamos a regra da cadeia para isso. Temos que a derivada da função externa é 3 vezes 4, que é 12, vezes (x menos 2) elevado a (3 menos 1), que é 2, e isso vezes a derivada da função interna, ou seja, derivada de x menos 2, que novamente é 1. Sendo assim, também temos que a segunda derivada está correta. Então a etapa um realizada por Olga está certinha. Chegamos à etapa 2 e vimos que ela disse que a solução para a segunda derivada da função ser igual a zero é quando x é igual a 2. Isso parece certo. A segunda derivada é 12 vezes (x menos 2)² e queremos que isso seja igual a zero. Isso só vai ser verdadeiro quando x for igual a 2, então a segunda etapa está boa. Agora vamos observar a terceira etapa. Na etapa três ela diz que f tem um ponto de inflexão em x igual a 2. Então ela está baseando isso apenas no fato de que a segunda derivada é zero quando x é igual a 2, ou seja, de que f''2 é zero. Porém temos um problema com essa afirmação, porque o fato de a segunda derivada ser zero em x igual a 2 apenas faz o 2 ser um bom candidato a verificar, mas não podemos dizer imediatamente que temos um ponto de inflexão aqui. Não se esqueça que um ponto de inflexão é onde a concavidade se altera, ou seja, a função deixa de ser côncava para cima e fica côncava para baixo, ou deixa de ser côncava para baixo e vira côncava para cima. Falando isso na língua da segunda derivada, isso significa que o sinal da segunda derivada se altera quando atravessamos o ponto que é candidato a ponto de inflexão, ou seja, para esse caso quando atravessarmos x igual a 2. Mas para saber isso temos que realizar um teste e para fazer esse teste precisamos observar alguns valores de alguns intervalos. Então vamos pensar sobre o intervalo quando vamos do infinito negativo até 2 e também vamos pensar no intervalo onde vamos de 2 até o infinito positivo. Agora você pode testar alguns valores destes intervalos. Com isso você pode pensar sobre o sinal da segunda derivada, e com base nisso pensar na concavidade de f. Então vamos pensar no que está acontecendo aqui. Vamos fazer um teste com o valor. Vamos fazer um teste com 1, que está neste intervalo, e também vamos fazer um teste com 3, que está nesse outro intervalo aqui. Fazendo com 1, aqui na segunda derivada teremos (1 menos 2)². Dentro do parênteses teremos -1, mas ao elevar ao quadrado teremos 1 positivo e ao multiplicar isso por 12 teremos +12. Então o sinal da segunda derivada é positivo. Agora vamos tentar com 3. Ao tentar com 3 teremos (3 menos 2)², que é 1 positivo e teremos isso aqui vezes 12, que também vai ser 12 positivo. Então também teremos a segunda derivada sendo positiva neste intervalo. Então teremos que antes do candidato a ponto de inflexão, que é 2, a função sendo côncava para cima e aqui depois do x igual a 2 teremos a função ainda com a concavidade voltada para cima. Pelo menos aqui nesses valores de teste parece que a cada lado de 2 temos um sinal da segunda derivada sendo positiva. Ah, na maioria das vezes você só precisa encontrar valores mais próximos do valor que é candidato, mas se olhar a segunda derivada, você pode ver que isso nunca vai ser negativo. Na verdade, isso é verdade para qualquer valor diferente de x igual a 2. Veja só: mesmo que x menos 2 for negativo, você vai elevar esse valor ao quadrado, o que vai tornar o número positivo. Depois disso a gente vai multiplicar esse valor por um número positivo. Portanto, para qualquer valor diferente de x igual a 2, o sinal da nossa segunda derivada é positivo. Isso significa que ela sempre será côncava para cima e que nós realmente não temos um ponto de inflexão em x igual a 2 porque não estamos trocando de sinal à medida que passamos de valores menores que x igual a 2 para valores maiores que x igual a 2. Nossa segunda derivada não está mudando de lado, então mais uma vez isso aqui está incorreto. Na verdade não temos um ponto de inflexão em x igual a 2 porque a nossa segunda derivada não muda de sinal conforme atravessamos x igual a 2 e isso significa que a nossa concavidade não se altera. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!