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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5
Lição 5: Extremos absolutos (globais)- Como encontrar os extremos absolutos em um intervalo fechado
- Mínimos e máximos absolutos (intervalos fechados)
- Mínimos e máximos absolutos (domínio completo)
- Mínimos e máximos absolutos (domínio completo)
- Revisão de mínimos e máximos absolutos
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Revisão de mínimos e máximos absolutos
Faça uma revisão de como usar o cálculo diferencial para encontrar pontos extremos (de mínimo e de máximo) absolutos.
Como usar cálculo diferencial para encontrar pontos máximos e mínimos absolutos?
O ponto de máximo absoluto é aquele onde a função atinge seu maior valor possível. Da mesma forma, o mínimo absoluto é o ponto onde a função atinge seu mínimo valor possível.
Supondo que você já saiba encontrar mínimos e máximos relativos, você só precisa de mais um passo para encontrar os pontos extremos absolutos (ou globais): considerar as extremidades nas duas direções.
Quer aprender mais sobre extremos absolutos e cálculo diferencial? Confira este vídeo.
Encontrando extremos absolutos em um intervalo fechado
O Teorema de Weierstrass diz que uma função contínua necessariamente tem valores mínimo e máximo absolutos em um intervalo fechado. Esses valores extremos são pontos máximos ou mínimos relativos dentro do intervalo, ou pontos nas extremidades do intervalo.
Vamos encontrar, por exemplo, o extremo absoluto de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x no intervalo minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3.
h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, então nossos pontos críticos são x, equals, minus, 2 e x, equals, 1. Eles dividem o intervalo fechado minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 em três partes:
Intervalo | Valor de x | h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Veredito |
---|---|---|---|
minus, 3, is less than, x, is less than, minus, 2 | x, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction | h, prime, left parenthesis, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, 21, divided by, 2, end fraction, is greater than, 0 | h é crescente \nearrow |
minus, 2, is less than, x, is less than, 1 | x, equals, 0 | h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0 | h é decrescente \searrow |
1, is less than, x, is less than, 3 | x, equals, 2 | h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0 | h é crescente \nearrow |
Agora nós examinamos os pontos críticos e os pontos extremos do intervalo:
x | h, left parenthesis, x, right parenthesis | Antes | Depois | Conclusão |
---|---|---|---|---|
minus, 3 | 9 | minus | \nearrow | Mínimo |
minus, 2 | 20 | \nearrow | \searrow | Máximo |
1 | minus, 7 | \searrow | \nearrow | Mínimo |
3 | 45 | \nearrow | minus | Máximo |
No intervalo fechado minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3, os pontos left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis e left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis são mínimos relativos e os pontos left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis e left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis são máximos relativos.
left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis é o menor mínimo relativo, então ele é o ponto mínimo absoluto, e left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis é o maior máximo relativo, então é o ponto máximo absoluto.
Perceba que o valor do mínimo relativo é obtido dentro do intervalo e o máximo absoluto é obtido em um dos extremos.
Quer tentar resolver mais problemas como esse? Veja esse exercício.
Encontrando extremos absolutos em todo o domínio
Nem todas as funções têm um valor máximo ou mínimo absoluto em todo o seu domínio. Por exemplo, a função linear f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x não tem um mínimo ou máximo absoluto (seus valores podem ser tão altos ou tão baixos quanto quisermos).
No entanto, algumas funções têm de fato um extremo absoluto em todo o domínio. Vamos analisar, por exemplo, a função g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript.
g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, então o único ponto crítico é x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.
Intervalo | Valor de x | g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Veredito |
---|---|---|---|
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis | x, equals, minus, 1 | g, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 2, divided by, e, cubed, end fraction, is less than, 0 | g é decrescente \searrow |
left parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, comma, infinity, right parenthesis | x, equals, 0 | g, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 1, is greater than, 0 | g é crescente \nearrow |
Vamos nos imaginar andando pelo gráfico de g, começando da extrema esquerda (de minus, infinity) e indo para a extrema direita (até plus, infinity).
Vamos começar descendo até chegarmos a x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Então, vamos subir infinitamente. Assim, g terá um ponto de mínimo absoluto em x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. A função não terá um valor máximo absoluto.
Quer aprender mais sobre extremos absolutos em domínio completo? Confira este vídeo.
Quer tentar resolver mais problemas como esse? Confira este exercício.
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