Revisão de mínimos e máximos absolutos

O ponto de máximo absoluto é aquele onde a função atinge seu maior valor possível. Da mesma forma, o mínimo absoluto é o ponto onde a função atinge seu mínimo valor possível.

Supondo que você já saiba encontrar mínimos e máximos relativos, você só precisa de mais um passo para encontrar os pontos extremos absolutos (ou globais): considerar as extremidades nas duas direções.

O Teorema de Weierstrass diz que uma função contínua necessariamente tem valores mínimo e máximo absolutos em um intervalo fechado. Esses valores extremos são pontos máximos ou mínimos relativos dentro do intervalo, ou pontos nas extremidades do intervalo.

Vamos encontrar, por exemplo, o extremo absoluto de $h(x)=2x^3+3x^2-12x$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x no intervalo $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3.

$h'(x)=6(x+2)(x-1)$h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, então nossos pontos críticos são $x=-2$x, equals, minus, 2 e $x=1$x, equals, 1. Eles dividem o intervalo fechado $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 em três partes:

Agora nós examinamos os pontos críticos e os pontos extremos do intervalo:

No intervalo fechado $-3 \leq x \leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3, os pontos $(-3,9)$left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis e $(1,-7)$left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis são mínimos relativos e os pontos $(-2,20)$left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis e $(3,45)$left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis são máximos relativos.

Perceba que o valor do mínimo relativo é obtido dentro do intervalo e o máximo absoluto é obtido em um dos extremos.

Nem todas as funções têm um valor máximo ou mínimo absoluto em todo o seu domínio. Por exemplo, a função linear $f(x)=x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x não tem um mínimo ou máximo absoluto (seus valores podem ser tão altos ou tão baixos quanto quisermos).

No entanto, algumas funções têm de fato um extremo absoluto em todo o domínio. Vamos analisar, por exemplo, a função $g(x)=xe^{3x}$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript.

$g'(x)=e^{3x}(1+3x)$g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, então o único ponto crítico é $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.

Vamos nos imaginar andando pelo gráfico de $g$g, começando da extrema esquerda (de $-\infty$minus, infinity) e indo para a extrema direita (até $+\infty$plus, infinity).

Vamos começar descendo até chegarmos a $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Então, vamos subir infinitamente. Assim, $g$g terá um ponto de mínimo absoluto em $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. A função não terá um valor máximo absoluto.