Revisão de mínimos e máximos absolutos

O ponto de máximo absoluto é aquele onde a função atinge seu maior valor possível. Da mesma forma, o mínimo absoluto é o ponto onde a função atinge seu mínimo valor possível.

Supondo que você já saiba encontrar mínimos e máximos relativos, você só precisa de mais um passo para encontrar os pontos extremos absolutos (ou globais): considerar as extremidades nas duas direções.

O Teorema de Weierstrass diz que uma função contínua necessariamente tem valores mínimo e máximo absolutos em um intervalo fechado. Esses valores extremos são pontos máximos ou mínimos relativos dentro do intervalo, ou pontos nas extremidades do intervalo.

Vamos encontrar, por exemplo, o extremo absoluto de $h(x)=2x^3+3x^2-12x$‍ no intervalo $-3\le x\le 3$‍.

$h^{\prime }(x)=6(x+2)(x-1)$‍, então nossos pontos críticos são $x=-2$‍ e $x=1$‍. Eles dividem o intervalo fechado $-3\le x\le 3$‍ em três partes:

Agora nós examinamos os pontos críticos e os pontos extremos do intervalo:

No intervalo fechado $-3\le x\le 3$‍, os pontos $(-3,9)$‍ e $(1,-7)$‍ são mínimos relativos e os pontos $(-2,20)$‍ e $(3,45)$‍ são máximos relativos.

Perceba que o valor do mínimo relativo é obtido dentro do intervalo e o máximo absoluto é obtido em um dos extremos.

Nem todas as funções têm um valor máximo ou mínimo absoluto em todo o seu domínio. Por exemplo, a função linear $f(x)=x$‍ não tem um mínimo ou máximo absoluto (seus valores podem ser tão altos ou tão baixos quanto quisermos).

No entanto, algumas funções têm de fato um extremo absoluto em todo o domínio. Vamos analisar, por exemplo, a função $g(x)=x{e}^{3x}$‍.

$g^{\prime }(x)=e^{3x}(1+3x)$‍, então o único ponto crítico é $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍.

Vamos nos imaginar andando pelo gráfico de $g$‍, começando da extrema esquerda (de $-\mathrm{\infty }$‍) e indo para a extrema direita (até $+\mathrm{\infty }$‍).

Vamos começar descendo até chegarmos a $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍. Então, vamos subir infinitamente. Assim, $g$‍ terá um ponto de mínimo absoluto em $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍. A função não terá um valor máximo absoluto.