Como encontrar os extremos absolutos em um intervalo fechado

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos encontrar extremos absolutos em um intervalo fechado e para isso nós temos essa função que é oito lnd x menos x ao quadrado onde esses pertence a esse intervalo ou seja o domínio da função é esse intervalo e isso significa que os extremos também fazem parte do domínio e da da essas informações eu gostaria de te perguntar qual é o valor máximo absoluto DF e claro eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho Ok vamos lá Digamos que nós temos aqui o intervalo fechado onde a função é definida nós temos alguns cenários possíveis para o gráfico dessa função nós podemos ter o máximo absoluto no início do intervalo e um mínimo absoluto no final o cavalo mas também podemos ter uma função aonde o máximo absoluto está no final do intervalo ou então nosso máximo absoluto está em algum lugar desse intervalo por exemplo podemos ter uma curva assim onde esse é o ponto máximo isso significa dizer que a reta tem gente que passa por ele tem inclinação igual a zero O que significa dizer que a derivada nesse ponto é igual a zero e também poderíamos ter algo mais ou menos assim onde a função faz um bico no seu ponto máximo e a derivada nesse ponto é indefinida isso porque é inclinação está positiva e logo em seguida fica negativa Na verdade tem muitas retas tangentes a esse ponto né enfim tem diferentes cenários para o gráfico da função e para responder a essa pergunta o substituir o x na função do início do intervalo e também do final erramos tentar descobrir valores para x onde a derivada é zero ou indefinida e esses pontos onde a derivada é zero ou é indefinida no já vimos eles são chamados de pontos críticos da função então esses aqui são os pontos críticos Claro você poderia ter um ponto crítico aqui onde a inclinação é zero Mas não seria máximo ou mínimo basicamente O que podemos fazer é encontrar todos os pontos críticos e testar na função e nós podemos testar esses extremos também todos eles são candidatos a valor máximo absoluto Primeiro vamos encontrar os valores críticos né para isso nós devemos encontrar a derivada da função f Ou seja a derivada disso aqui que é a coisa aqui oito sobre x - 2x e nós igualamos isso a 0 e com isso nós vamos ter essa é a equação que podemos resolver só mando 2x a ambos os membros dela ficando com oito sobre x = 2x e se multiplicarmos ambos os membros da equação posting vamos ficar com 8 = 2x ao quadrado e dividindo ambos os membros dela por dois vamos ficar com 4 = x ao quadrado e que se você resolver isso você vai encontrar x igual a mais ou menos dois mas como o domínio da função é de 1 até 4 nós consideramos somente 15 = 2 então x = 2 Então esse aqui é o ponto crítico Mas será que ele é o único ou seja esse x = 2 é o único valor que faz com que a derivada ser e já que o menos dois não pertence a esse intervalo mas o que faz com que a derivada seja indefinida se você colocar 10 aqui nesse denominador a derivada vai ser indefinida maginot quiseram não faz parte do intervalo com isso esse é o único ponto crítico da função nesse intervalo agora o que devemos fazer é substituir valores dentro desse intervalo na função e também substituir o ponto crítico e ver qual deles é o maior ou seja nós vamos calcular fd1 que é a mesma coisa que 8 l n de 1 - 1 ao quadrado e f de 4 = 8 vezes lend4 - 4 ao quadrado e f de 2 = 8 vezes lnd 2 - 2 ao quadrado Oi e para ver qual deles é o maior você pode utilizar uma calculadora mas vamos tentar deduzir aqui qual é o maior primeiro veja bem o logaritmo natural de um é zero Então vamos ficar 10 vezes oito que vai dar zero então essa parte da 0 - 1 ao quadrado vai ser igual a menos um o logaritmo natural de três é aproximadamente 1,7 e lend4 está entre 1,2 e 1,6 mais ou menos e se multiplicarmos por 8 vai ser algo entre 11 e 12 mais ou menos ou seja isso aqui vai ser menor do que 4 ao quadrado quer 16 o que nos diz que o resultado disso é negativo enquanto o que é ind2 está entre 0 e 1 e quando multiplicamos por 8 vai ser algo maior do que 2 ao quadrado e essa subtração vai dar algo positivo e claro fd1 é negativo né portanto esse aqui é o valor máximo absoluto então quando x = 2 nós temos o valor máximo da função que é 8l nd2 - 4 ou seja esse aqui é o máximo absoluto e claro você pode utilizar uma calculadora para confirmar isso o fd4 vai ser igual a oito vezes o lend4 - 16 e que vai dar menos 4,9 e assim por diante de fato o número negativo e o fd2 vai ser igual a oito vezes o Eliene de 2 - 4 = 1,5 aproximadamente Ou seja é um valor positivo de e esse aqui é o máximo absoluto e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal