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Análise de concavidade (graficamente)

Neste vídeo, resolvemos um exercício em que se pede para reconhecer a concavidade de uma função em certas regiões. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA14C "Uma função f(x) é esboçada abaixo." "Destaque o intervalo no qual f'(x)," "ou a primeira derivada de x," "é maior que zero" "e f'(x), ou a segunda derivada de f em relação a x," "é menor que zero." Bem, vamos pensar no que esse enunciado está dizendo. Nós estamos procurando um lugar em que a primeira derivada é maior que zero. Isso significa que a inclinação da reta tangente é positiva. Significa que a função está crescendo naquele intervalo. Se pensarmos a respeito disso, sobre esta região toda aqui, a função está claramente decrescendo. A inclinação torna-se zero bem aqui. Essa função começa a crescer novamente até que este ponto bem aqui atinja o zero, e, na sequência, a função começa a diminuir. Já que esta primeira restrição nos diz que precisamos de algo neste intervalo aqui, então, eles pedem que a segunda derivada seja menor que zero. Isso significa que a própria inclinação, seja ela positiva ou negativa, está diminuindo. Então, nós vamos ter uma concavidade para baixo aqui. A inclinação em si pode até ser positiva, mas ela vai ficar cada vez menos positiva. Então, nós estamos procurando um lugar com a inclinação positiva, mas que seja cada vez menos positiva. Então, se você estiver olhando bem aqui, a inclinação é positiva, mas a inclinação está crescendo, ficando cada vez mais íngreme conforme avançamos. Então, do nada, ela vai ficando menos íngreme. Menos, menos, menos... até que a inclinação volte a ser zero. Se nós fôssemos selecionar um intervalo, seria este intervalo bem aqui. Nossa inclinação é positiva. E nossa função claramente está crescendo, mas está crescendo a uma taxa cada vez mais baixa. Então, eu vou selecionar este aqui. Vamos fazer mais um exemplo. "Uma função f(x) é traçada abaixo." "Destaque o intervalo no qual f'(x)," "ou a primeira derivada de x," "é maior que zero," "e f"(x), ou a segunda derivada de f em relação a x," "é menor que 0." Então, é a mesma coisa. Nossa função está crescendo, mas está crescendo a uma taxa cada vez menor. Então, nossa função está crescendo em toda esta região aqui. Nós vemos que é bem íngreme aqui, depois ela vai ficando menos e menos íngreme. Vai ficando cada vez mais próxima de zero a inclinação da reta tangente, ou a taxa de crescimento da função. Então, eu pegaria qualquer coisa nesta região bem aqui.