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Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5

Lição 10: Conexão entre f, f', e f''
Matemática
Cálculo diferencial
Análise de funções
Conexão entre f, f', e f''
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Justificativa usando a derivada de segunda ordem

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"Racicínios com base no cálculo" envolvendo a derivada de segunda ordem de uma função podem ser usados para justificar afirmações sobre a concavidade da função original e seus pontos de inflexão.
Aprendemos que a derivada de primeira ordem f′ nos dá informações sobre onde f é crescente ou decrescente, e sobre onde f tem pontos extremos.
A derivada de segunda ordem f″ nos fornece informações sobre a concavidade da função original f e sobre onde f tem pontos de inflexão.

Vamos revisar do que a concavidade se trata.

Uma função é côncava para cima quando a sua inclinação está aumentando. Visualmente, um gráfico côncavo para cima tem a forma de uma taça, ∪.
A função f está representada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico consiste de uma curva. A curva começa no quadrante 2, se move para baixo com concavidade para cima até o eixo y, se move para cima com concavidade para cima passando por 2 pontos e termina no quadrante 1. As retas tangentes se movem para cima e tocam cada um dos dois pontos. A reta tangente ao ponto mais elevado, em um valor de x maior, tem inclinação maior que a reta tangente ao ponto inferior.
O gráfico de f é côncavo para cima (note sua forma de ∪ ). Observe como a inclinação aumenta à medida que x aumenta.
Da mesma forma, uma função é côncava para baixo quando sua inclinação está diminuindo. Graficamente, um gráfico côncavo para baixo tem a forma de uma tenda, ∩.
A função g está representada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico consiste de uma curva. A curva começa no quadrante 2, se move para cima com concavidade para baixo até o eixo y, se move para baixo com concavidade para baixo passando por 2 pontos e termina no quadrante 4. As retas tangentes se movem para baixo e tocam cada um dos dois pontos. A reta tangente ao ponto inferior, em um valor de x maior, tem inclinação maior que a reta tangente ao ponto mais elevado.
O gráfico de g é côncavo para baixo (note sua forma de ∩). Observe como a inclinação diminui à medida que x aumenta.
Um ponto de inflexão é onde uma função muda de concavidade.
A função f é mostrada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico consiste de uma curva. A curva começa no quadrante 2, se move para baixo com concavidade para cima até um ponto no quadrante 1, se move para cima com concavidade para cima até um ponto de inflexão, continua para cima com concavidade para baixo até um ponto, se move para baixo com concavidade para baixo e termina no quadrante 4.

Como f″ nos informa sobre a concavidade de f

Quando a derivada de segunda ordem f″ é positiva, isso quer dizer que f′ é crescente, o que significa que f é côncava para cima. Da mesma forma, um valor negativo de f″ significa que f′ é decrescente e f é côncava para baixo.
f″f′f
positiva +crescente ↗côncava para baixo ∪
negativa −decrescente ↘côncava para baixo ∩
cruza o eixo x (muda de sinal)ponto extremo (muda de direção)ponto de inflexão (muda de concavidade)
Aqui está um exemplo gráfico:
f″f′f
Observe como f é concava para baixo à esquerda de x=c e concava para cima à direita de x=c.
Problema 1
Seja f uma função duplamente diferenciável. Este é o gráfico de sua derivada de segunda ordem, f″.
Em qual intervalo f é sempre côncava para cima?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: confundir a relação entre f, f′ e f″

Lembre-se que para que f seja côncava para cima, f′ precisa ser crescente e f″ precisa ser positiva. Outros comportamentos de f, f′, e f″ não são necessariamente relacionados.
Por exemplo, no problema 1 acima, f″ é côncava para cima no intervalo [−8,−2], mas isso não significa que f é côncava para cima nesse intervalo.
Problema 2
Seja h uma função duplamente diferenciável. Este é o gráfico de sua derivada de segunda ordem, h″.
Onde h tem um ponto de inflexão?
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Erro comum: interpretar mal as informações gráficas apresentadas

Imagine um aluno resolvendo o problema 2 acima, achando que o gráfico é da derivada de primeira ordem de h. Nesse caso, h teria um ponto de inflexão em A e B, porque esses são os pontos onde h′ muda de direção. Esse aluno estaria errado, pois esse é o gráfico da derivada de segunda ordem e a resposta correta é D.
Lembre-se sempre de confirmar que entendeu as informações fornecidas. Temos o gráfico da função f, da derivada de primeira ordem f′ ou da derivada de segunda ordem f″?
Problema 3
A função duplamente diferenciável g e sua derivada de segunda ordem g″ são mostradas no gráfico.
Quatro alunos devem dar uma justificativa apropriada baseada em cálculo para o fato de g ter um ponto de inflexão em x=−2.
Você consegue relacionar os comentários do professor com as justificativas dos estudantes?
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Como usar a derivada de segunda ordem para determinar se um ponto de extremo é um mínimo ou um máximo

Imagine que temos que a função f tem um ponto de extremo em x=1 e que ela é côncava para cima no intervalo [0,2]. Nós podemos dizer, com base nessas informações, se o ponto de extremo é um mínimo ou um máximo?
A resposta é SIM. Lembre-se que quando uma função é côncava para cima ela tem a forma de uma taça ∪. Uma curva com essa forma poderá ter apenas um ponto mínimo.
Da mesma forma, quando uma função côncava para baixo tiver um extremo, esse extremo deverá ser um ponto máximo.
A função f está representada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico é uma curva. A curva começa no quadrante 2, move-se para baixo com concavidade para cima até um ponto mínimo no quadrante 1, move-se para cima com concavidade para cima e depois com concavidade para baixo até um ponto máximo no quadrante 1, move-se para baixo com concavidade para baixo e termina no quadrante 4.
Problema 4
A função duplamente diferenciável h e sua derivada de segunda ordem h″ são mostradas no gráfico.
Dado que h′(−4)=0, qual é uma justificativa baseada em cálculo apropriada para o fato de que h tem um máximo relativo em x=−4?
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Tente este exercício.

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