Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de máximo

RKA14C Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exemplo sobre ponto máximo e segunda derivada. Esse exemplo diz o seguinte: Dado h' (-4) = 0, qual é a justificativa apropriada, baseada em cálculo, para o fato de h ter um máximo relativo em x = -4? Aqui do lado, temos o gráfico de nossa função h. Este é o gráfico de y = h(x). Detalhe: não temos a primeira derivada representada graficamente, mas temos aqui a segunda derivada sendo representada. Está aqui, nesta cor alaranjada. Temos aqui h''. A questão está dizendo que h'(-4) = 0. Ou seja, isso está dizendo que a primeira derivada da função em x = -4 é igual a zero. Você pode perceber aqui que a inclinação da reta tangente quando x = -4 realmente é igual a zero. Então, dado isso, como podemos ter uma justificativa baseada em cálculo para o fato de h ter um máximo relativo em x = -4? A primeira alternativa diz que a segunda derivada em x = -4 é negativa. Bem, o que isso nos diz? Se a segunda derivada for negativa, isso significa que a primeira derivada está diminuindo. Há outra maneira de dizer que estamos lidando com uma situação em que, pelo menos em x = -4, a função é côncava para baixo. Isso significa que a forma geral de nossa curva vai se parecer com algo assim, em torno de x = -4. Se a inclinação em x = -4 é zero, bem, isso nos diz que, sim, nós realmente estamos lidando com um ponto máximo relativo. Agora, se a segunda derivada neste ponto for positiva, então, a função será côncava para cima. E, se a derivada for zero neste ponto, teremos um ponto mínimo relativo. Mas a verdade é que a segunda derivada é negativa em x = -4. Isso significa que a função é côncava para baixo. Ou seja, nós temos um U voltado para baixo. E aquele ponto em que a derivada é zero, é de fato um máximo relativo. Então, vamos marcar esta aqui, porque ela é correta, mas vamos entender por que as outras serão descartadas. "h aumenta antes de x = -4". Bem, isso é verdade! Antes de x = -4 a função aumenta e depois disso diminui. Isso é verdade, e é um ótimo argumento para pensar, afinal, devemos ter um ponto máximo. Assumindo que a nossa função é contínua em x = -4, então, isto aqui está certo. É uma justificativa para o máximo relativo. O problema é que ela não é baseada em cálculo, por isso que nós a descartamos. "h'' tem um mínimo relativo em x = -4". Bem, realmente, parece ser verdade. Há um mínimo relativo nesse ponto, mas isso não é uma justificativa para o porquê de termos um máximo relativo em x = -4. Por exemplo, você poderia ter um mínimo relativo em sua segunda derivada, mas sua segunda derivada ainda ser positiva nesse ponto. E, se a segunda derivada fosse assim, isto ainda seria um mínimo relativo nessa segunda derivada. Mas, se fosse positiva nesse ponto, então a função seria côncava para cima, o que significaria que em x = -4 a função original não teria um ponto máximo, teria um ponto mínimo. Então, apenas um ponto mínimo nessa segunda derivada não é suficiente para justificar. Para saber que você está lidando com o máximo relativo, você tem que ter certeza que a segunda derivada é negativa neste ponto. Agora, esta quarta escolha. "h'' é côncava para cima". Realmente, a segunda derivada é côncava, mas isso por si só não justifica a função ser côncava para baixo. Por exemplo... Eu poderia usar este exemplo aqui. Esta é uma segunda derivada com a concavidade voltada para cima, mas é positiva o tempo todo. E, se é a segunda derivada é sempre positiva, isso significa que a primeira derivada está aumentando o tempo todo, o que significa que a função original vai ser sempre côncava para cima. Se ela fosse côncava para cima o tempo todo, você não teria um máximo relativo em x = -4. Então, também vamos excluir esta aqui. Bem, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. Mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço. Até a próxima!