Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de máximo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vindo a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos resolver um exemplo sobre ponto máximo e segunda derivada esse exemplo diz o seguinte dado a galinha de - 4 = 0 Qual é a justificativa apropriada baseada em cálculo para o fato DH ter um máximo relativo em x = -4 aqui do lado nós estamos o gráfico de nossa função H Esse é o gráfico de Y igual hdx um detalhe nós não temos a primeira derivada representada graficamente mas nós temos aqui a segunda derivada sendo representada que está aqui nessa cor a laranjada estamos aqui h duas linhas A questão está dizendo que a galinha de - 4 = 0 ou seja isso está dizendo que a primeira derivada da função em x = - 4 = 0 você pode perceber aqui a nação da reta tangente quando X = -4 realmente é igual a zero então dado isso como podemos ter uma justificativa baseada em cálculo para o fato DH ter um máximo relativo em x = -4 bem a primeira alternativa diz que a segunda derivada em X = -4 é negativa bem o que surgir se a segunda derivada por negativa Isso significa que a primeira derivada está diminuindo e a outra maneira de dizer que estamos lidando com uma situação onde Em que pelo menos em x = 4 negativo a função e côncava para baixo isso significa que a forma geral de nossa curva vai se parecer com algo assim torno de x = 4 negativo isso é inclinação E X = -4 É zero bem isso nos diz que sim Nós realmente estamos lidando com o ponto máximo relativo Agora se a segunda derivada nesse ponto o da Silva então a função será côncava para cima isso é derivado a por zero nesse ponto teremos um ponto mínimo relativo mas a verdade é que a segunda derivada é negativa em x = -4 Isso significa que a função é côncava para baixo ou seja nós temos um ovo ou tá daqui para baixo e aquele ponto onde a derivada a zero É de fato um máximo relativo Então vamos marcar essa daqui porque ela é correta mas vamos entender porque as outras serão descartadas H aumenta antes de X = -4 bem isso é verdade antes de X = -4 a função aumenta e depois disso diminui Isso é verdade é um ótimo argumento para pensar Afinal devemos ter um ponto máximo assumindo que nossa função é continue X = -4 então isso daqui está certo é uma justificativa para o máximo relativo O problema é que ela não é baseada em cálculo e a por isso de cártamos ela a segunda derivada tem um mínimo relativo em x = -4 bem realmente parece ser verdade a um mínimo relativo nesse ponto Mas isso não é uma justificativa para o porquê de termos um máximo relativo em X = -4 por exemplo você poderia ter um mínimo relativo em sua segunda derivada mas sua segunda derivada ainda ser positiva nesse ponto e aí se a segunda derivada fosse assim isso ainda seria um mínimo relativo nessa segunda derivada mas se fosse positiva nesse o ponto então a função seria côncava para cima o que significaria quem x = -4 a função original não teria um ponto máximo teria um ponto mínimos então apenas um ponto mínimo nessa segunda derivada não é suficiente para justificar para saber que você está lidando com o máximo relativo você tem que ter certeza que a segunda derivada é negativa nem e agora essa quarta escolha H duas linhas é côncava para cima realmente a segunda derivada concava mas isso por si só não justifica a função ser côncava para baixo por exemplo bem Eu poderia usar esse exemplo aqui essa é uma segunda derivada com a concavidade voltada para cima mas é positivo o tempo todo isso é a segunda derivada é sempre positiva Isso significa que a primeira derivada está aumentando o tempo todo o que significa que a função original vai ser sempre côncava para cima Então se ela for côncava para cima o tempo todo você não teria um máximo relativo em x = 4 negativo então também vamos excluir essa daqui bem meu amigo minha amiga eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que eu conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima