Conexão gráfica entre f, f', e f''

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre a relação entre os gráficos de uma função de sua primeira derivada e de sua segunda derivada Aqui nós temos três gráficos e o nosso objetivo nesse vídeo é descobrir qual é o gráfico da função Qual é o gráfico da primeira derivada E qual é o gráfico da segunda derivada como sempre pause esse vídeo e veja se você consegue trabalhar nisso por conta própria E aí fez Vamos fazer juntos agora uma forma de atingir o nosso objetivo aqui é tentar esboçar o que podemos saber sobre a derivada de cada um desses gráficos ou as funções representadas por esses gráficos nesse primeiro gráfico aqui nessa cor a laranjada podemos ver que a inclinação é bastante positivo aqui mas se torna a cada vez menos positivo à medida que a gente vai avançando e até se o ponto onde a inclinação será zero e aí ela fica negativa e aí você torna cada vez mais e mais negativa sendo assim a derivada dessa curva bem aqui ou a derivada da função representada por essa curva vai começar razoavelmente positiva aí nesse ponto a derivada vai cruzar zero porque a inclinação da reta tangente é zero nesse ponto e aí depois vai ficar cada vez mais negativa Pelo menos durante o intervalo que nós temos aqui é então o gráfico da derivada pode se parecer com isso aqui mais ou menos assim olha eu não sei se é uma reta ou não pode até ser algum tipo de curva mas definitivamente teria uma tendência algo assim agora podemos dizer imediatamente que esse gráfico azul não é a derivada desse gráfico laranja Sua tendência é o aposta durante essa intervalo está deixando de ser negativa para ser positiva ao invés de positiva para negativa Porto a descartar o gráfico azul aqui como sendo a derivada do gráfico laranja mas esse gráfico aqui com uma cor rosa com ela parece que tem uma tendência certa na verdade ele cruza o eixo X aqui no lugar certo bem aqui e aí pelo menos nesse intervalo parece que é positivo daqui até aqui esse gráfico é positivo quando a inclinação da reta tangente é que é positiva e esse gráfico é negativo quando a inclinação da reta tangente aqui é negativa agora tem uma coisa que está me causando mal-estar para dizer imediatamente que esse último gráfico é derivado do primeiro gráfico principalmente porque não estamos acostumados com situações onde a derivada tem mais pontos extremos mais mínimos e máximos do que a função original Só que nesse caso aqui pode ser apenas porque não estamos vendo toda a função original por exemplo se esse último gráfico aqui é de fato a derivada desse primeiro gráfico Então o que vemos e a nossa derivadas hernega eu tenho aqui mas aí ela começa a se tornar menos negativa Então você se ponto corresponde mais ou menos é isso aqui ele está mais ou menos aqui aqui a nossa inclinação vai se tornar cada vez menos negativa e aí nesse ponto Nossa inclinação se tornaria zero que seria mais ou menos aqui e aí nesse caso o nosso gráfico pode ser parecido com isso não apenas o que nós estamos vendo Afinal ficou faltando uma parte aqui no gráfico que nós observamos sendo assim eu diria que esse terceiro gráfico é um bom candidato a ser a derivada da primeira função Então vamos chamar isso aqui DF e isso aqui de a filinha OK agora vamos examinar o segundo o gráfico qual seria a aparência de sua derivada aqui nossa inclinação é muito negativa aí vai se tornando cada vez menos negativos até chegarmos bem aqui onde Nossa inclinação é zero sendo assim nossa derivada cruzaria o eixo X é que nesse ponto a derivada começaria negar e se tornaria cada vez menos negativa cruzaria o eixo X nesse ponto e aí depois se tornaria a cada vez mais positiva vamos a nossa derivada que fazendo isso se tornando cada vez mais positiva mas aí aparentemente ela se comporta como se estivesse ficando menos positiva novamente então podemos ter algo mais ou menos assim onde é que está se tornando menos positiva e aí se torna cada vez menos positivo até chegar ao ponto onde a nossa derivada é igual a zero Nossa derivada cruzaria o eixo X nesse ponto olhando o gráfico parece que a partir desse ponto a inclinação está ficando cada vez mais negativa Observe que o que eu estou esboçando aqui você parece muito com esse gráfico laranja ou seja se gráfico laranja se parece muito com a derivada desse gráfico Azul então eu diria que a função é que representada por esse gráfico e a derivada dessa função que está aqui então aqui teremos a minha esse esse primeiro gráfico representa a derivada da função que está no meio e o gráfico em rosa representa a derivada do primeiro gráfico Aqui nós temos F duas linhas bem essa conclusão parece muito boa e eu vou ficar com isso aqui mas se você quiser por uma questão apenas de segurança você pode tentar esboçar a derivada de ser deve ser um gráfico aliás eu acho legal a gente fazer isso aqui aqui inicialmente temos uma inclinação positiva aí conforme a gente segue a inclinação fica cada vez menos positiva até atingir 10 sendo assim a derivada pode ser parecer com algo assim durante esse intervalo aí depois disso a inclinação da reta tangente vai ficando cada vez mais negativa até um certo. Aí depois fica cada vez menos negativa até eu voltar a zero depois ela fica positiva e aí cada vez mais positiva portanto a derivada da a rosa parece que era uma parábola com a concavidade voltada para cima desse jeito aqui bem eu não vejo isso aqui em nenhum dos outros gráficos então eu realmente posso dizer que o primeiro gráfico é filhinha o segundo F Ou seja a função e o terceiro F duas linhas a segunda derivada da função bem meu amigo minha amiga eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima