Pontos de inflexão dos gráficos de funções e derivadas

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos realizar um estudo gráfico sobre pontos de inflexão algo que até já conversamos em outros vídeos Então a primeira coisa a observar é que um ponto de inflexão é um ponto em nosso gráfico onde Nossa inclinação vai mudar sua direção por exemplo ela pode estar diminuindo aí depois desse ponto começa a aumentar ou pode estar aumentando E aí depois desse ponto começar a diminuir para observar isso veja esse gráfico de uma função bem aqui eu vou colocar a inclinação de uma reta tangente em Pontos diferentes quando x = - 2 a reta tangente se parece com isso e você pode ver sua inclinação aí o conforme aumentamos o x podemos ver que a inclinação é positiva mas está diminuindo aí em seguida vai para zero e depois fica negativa aí ela continua diminuindo até chegar é isso aqui que parece ser menos um a partir desse ponto a inclinação começa a aumentar algo interessante aconteceu aqui a direita de x = -1 e isso é uma indicação muito boa Estamos fazendo isso graficamente aqui não estamos provando isso mas nesse ponto bem aqui temos um ponto de inflexão deixa eu mostrar isso aqui de novo agora que já estamos com esse ponto aqui marcado para xi 100 - 2 temos uma inclinação positiva aí a inclinação diminui diminui diminui fica negativa ainda continua negativo e diminui diminui mas em x = -1 a inclinação começa a aumentar novamente Então é assim que você poderia Observar isso apenas olhando a própria função mas você também pode observar ponto de inflexão olhando para primeira derivada lembre-se uma inflexão é um ponto onde Nossa inclinação vai de aumentando para diminuindo o diminuindo para aumentando por assim dizer a indica para gente a inclinação da reta tangente isso bem Aqui é a derivada da função original que está em azul aqui podemos ver as partes interessantes então Observe o que está acontecendo a derivada está diminuindo o que significa que a inclinação da reta tangente da nossa função original está diminuindo e vemos isso aqui Observe enquanto a derivada está diminuindo bem aqui nossa inclinação estará diminuindo Nossa inclinação é positiva mas é decrescente então se torna negativa mas continua de crescendo faz isso durante todo o caminho até se ponto em x = -1 vamos fazer isso aqui novamente Nossa inclinação é positiva e decrescente aí bem aqui na nossa inclinação continua diminuindo Mas então fica negativa e continua diminuindo durante o todo o caminho até que x seja igual a menos um depois desse ponto a nossa inclinação começa a aumentar novamente a derivada começa a aumentar o que significa que a inclinação da Oi gente da nossa função original Aqui começa a aumentar então esse ponto é bem interessante para identificar um ponto de inflexão através da primeira derivada é Preciso olhar para um ponto mínimo ou olhar para um ponto máximo porque isso mostra um lugar onde a sua derivado está mudando de direção vai de aumentando para diminuindo ou nesse caso de diminuindo para aumentando isso diz a você que esse ponto é provavelmente um ponto de inflexão agora vamos pensar sobre a segunda derivada isso bem Aqui é a derivada da derivada eu acho legal diminuir o zoom aqui um pouco para gente conseguir ver a coisa toda para que a gente consiga ver realmente o que tá acontecendo bem o que é interessante aqui parece que em x = -1 nós cruzamos o eixo X com a nossa segunda derivada deixa eu colocar isso aqui também bem aqui nós cruzamos o eixo X que é realmente onde nós temos um ponto de inflexão e isso faz sentido é porque se a nossa segunda derivada [ __ ] de negativa para positiva Isso significa que a nossa primeira derivada vai de estar diminuindo para estar aumentando o que significa que a inclinação da reta tangente da nossa função vai diminuindo para aumentando vemos isso várias vezes diminuindo para aumentando bem aqui agora é importante perceber que a segunda derivada não precisa apenas trocar o eixo X ela precisa cruzar sabendo disso você deve estar se perguntando agora e esse ponto bem aqui esse 2,0 a segunda derivada toca o eixo X nesse ponto mas não atravessa então a gente não saiu aqui do estado da derivada de estar aumentando para estar diminuindo em fim meu amigo minha amiga a gente aprendeu muita coisa aqui a gente aprendeu que você pode descobrir o ponto de inflexão através do gráfico da função do gráfico da derivada ou no gráfico da segunda derivada na Ah não você só precisa observar as inclinações da reta tangente e pensar sobre onde isso vai mudar de diminuindo para aumentando o contrário já aumentando para diminuindo se você está olhando agora aqui para primeiro a derivada você só precisa buscar pontos mínimos ou máximos e se você está olhando para segunda derivada aqui que temos em laranja você precisa observar os valores de x em que estamos cruzando o eixo X não apenas tocando mas sim cruzando o eixo X é enfim eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima