Pontos de inflexão dos gráficos de funções e derivadas

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos realizar um estudo gráfico sobre pontos de inflexão, algo que até já conversamos em outros vídeos. Então a primeira coisa a observar é que um ponto de inflexão é um ponto em nosso gráfico onde nossa inclinação vai mudar sua direção. Por exemplo, ela pode estar diminuindo e depois desse ponto começar a aumentar, ou pode estar aumentando e depois desse ponto começar a diminuir. Para observar isso, veja esse gráfico de uma função bem aqui. Eu vou colocar a inclinação de uma reta tangente em pontos diferentes. Quando x é igual a -2, a reta tangente se parece com isso e você pode ver sua inclinação. Conforme aumentamos x, podemos ver que a inclinação é positiva, mas está diminuindo. Em seguida vai para zero, depois fica negativa e então ela continua diminuindo até chegar a isso aqui, que parece ser -1. A partir desse ponto a inclinação começa a aumentar. Algo interessante aconteceu aqui à direita de x igual a -1 e isso é uma indicação muito boa. Estamos fazendo isso graficamente. Não estamos provando isso, mas nesse ponto bem aqui temos um ponto de inflexão. Deixe-me mostrar isso aqui de novo agora que já estamos com este ponto marcado. Para x em -2 temos uma inclinação positiva, então a inclinação diminui, diminui, diminui, fica negativa, ainda continua negativa, e diminui, diminui. Mas em x igual a -1 a inclinação começa a aumentar novamente. Então é assim que você poderia observar isso apenas olhando a própria função. Mas você também pode observar pontos de inflexão olhando para a primeira derivada. Lembre-se: uma inflexão é um ponto onde nossa inclinação vai de aumentando para diminuindo, ou de diminuindo para aumentando, por assim dizer. A derivada indica para gente a inclinação da reta tangente. Isso bem aqui é a derivada da função original que está em azul. Aqui podemos ver as partes interessantes. Então observe o que está acontecendo: a derivada está diminuindo, o que significa que a inclinação da reta tangente da nossa função original está diminuindo. Vemos isso aqui. Observe que enquanto a derivada está diminuindo bem aqui, nossa inclinação estará diminuindo. Nossa inclinação é positiva, mas é decrescente, então se torna negativa, mas continua decrescendo. Faz isso durante todo o caminho até esse ponto em x igual a -1. Vamos fazer isso aqui novamente. Nossa inclinação é positiva e decrescente, então bem aqui nossa inclinação continua diminuindo, mas então fica negativa, e continua diminuindo durante o todo o caminho até que x seja igual a -1. Depois desse ponto a nossa inclinação começa a aumentar novamente. A derivada começa a aumentar, o que significa que a inclinação da reta tangente da nossa função original começa a aumentar. Então esse ponto é bem interessante. Para identificar um ponto de inflexão através da primeira derivada é preciso olhar para um ponto mínimo ou olhar para um ponto máximo porque isso mostra um lugar onde a sua derivada está mudando de direção. Ela vai de aumentando para diminuindo, ou nesse caso de diminuindo para aumentando, e isso diz a você que esse ponto é, provavelmente, um ponto de inflexão. Agora vamos pensar sobre a segunda derivada. Isso bem aqui é a derivada da derivada. Eu acho legal diminuir o zoom um pouco para gente conseguir ver a coisa toda, para que a gente consiga ver realmente o que está acontecendo. O que é interessante aqui? Parece que em x igual a -1 nós cruzamos o eixo x com a nossa segunda derivada. Deixe-me colocar isso aqui também. Bem aqui nós cruzamos o eixo x, que é realmente onde nós temos um ponto de inflexão, e isso faz sentido porque se a nossa segunda derivada for de negativa para positiva, isso significa que a nossa primeira derivada vai de estar diminuindo para estar aumentando, o que significa que a inclinação da reta tangente da nossa função vai de diminuindo para aumentando. Vemos isso várias vezes, de diminuindo para aumentando bem aqui. Agora é importante perceber que a segunda derivada não precisa apenas tocar o eixo x. Ela precisa cruzar. Sabendo disso você deve estar se perguntando agora: "E esse ponto bem aqui, esse 2,0?" A segunda derivada toca o eixo x nesse ponto, mas não o atravessa. Então a gente não saiu do estado da derivada de estar aumentando para estar diminuindo. Enfim, meu amigo ou minha amiga, a gente aprendeu muita coisa aqui. A gente aprendeu que você pode descobrir o ponto de inflexão através do gráfico da função, do gráfico da derivada ou do gráfico da segunda derivada. Na própria função você só precisa observar as inclinações da reta tangente e pensar sobre onde isso vai mudar de diminuindo para aumentando, ou o contrário, de aumentando para diminuindo. Se está olhando aqui para a primeira derivada, você só precisa buscar pontos mínimos ou máximos, e se você está olhando para a segunda derivada, que aqui temos em laranja, você precisa observar os valores de x em que estamos cruzando o eixo x. Não apenas tocando, mas sim cruzando o eixo x. Enfim, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!