Introdução a pontos críticos

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos começar a falar a respeito de pontos críticos. E para isso eu tenho esta função em amarelo. E eu quero saber quando ela tem valores de máximos e mínimos. E, claro, para este vídeo, esta função é decrescente para valores que vão para o infinito negativo, e decrescente para valores que vão para o infinito positivo. E aí, eu te pergunto: qual é o valor máximo que a função pode assumir? Observando o gráfico, nós podemos ver que este aqui é o maior ponto que ela pode assumir. E é o que chamamos de máximo global. E a função nunca terá um valor maior que esse. Ou seja, vamos ter um máximo global no ponto (x₀, f(x₀)). Isso porque f(x₀) é maior do que "f" de qualquer coisa, para qualquer "x" no domínio. Isto é bem intuitivo, não é? É só você olhar para este ponto e ver que não existe nenhum maior que ele. Agora, será que teremos um mínimo global? Não, porque esta função vai recebendo valores cada vez mais negativos conforme o "x" vai para o infinito negativo. E valores cada vez mais negativos conforme "x" vai se aproximando do infinito positivo. Portanto, eu posso escrever que não temos mínimo global. Agora, deixe-me te fazer outra pergunta. Será que temos mínimos locais ou máximos locais? Bem, ter um mínimo local significa dizer que a função neste ponto é menor do que qualquer ponto em sua vizinhança. Então, este ponto parece ser um mínimo local. E, claro, nesta aula, eu não vou definir nada, é só uma ideia intuitiva. Significa dizer que nós temos um x₁ de modo que o valor da função neste ponto seja menor do que qualquer ponto em sua vizinhança. Ou seja, qualquer valor de "x" que você escolher, à esquerda ou à direita, sempre vai dar um valor para a função maior do que este valor aqui. Agora, será que tem máximos locais? Este aqui parece ser um máximo local. Isso significa dizer que para qualquer "x" que esteja na vizinhança de x₂, a função sempre vai ser menor do que este ponto aqui. Ou seja, qualquer valor de "x" que você escolher à esquerda ou qualquer valor de "x" que você escolher à direita do x₂, sempre vai dar um valor inferior a este aqui. Claro, eu falei que parece ser máximo local, porque eu não tenho uma prova matemática ainda para isso. Nós só estamos olhando para função e tendo uma ideia intuitiva. E, claro, o máximo global também é um máximo local. Mas, agora que encontramos estes máximos e mínimos, que também são chamados de extremos da função, como podemos identificá-los se soubéssemos algo a respeito da derivada da função? Vamos olhar a derivada para cada um destes pontos. Vamos começar traçando a reta tangente a este ponto. E aí, você pode ver que a inclinação é zero. O que nos diz que a derivada da função em x₀ é igual a zero. Ou seja, a inclinação da reta tangente a este ponto é zero. E o que acontece aqui? A mesma coisa. A reta tangente a este ponto também tem inclinação igual a zero. O que nos diz que a derivada da função em x₁ é igual a zero. E aqui, o que acontece? Neste ponto, a reta tangente não é definida. Nós temos uma inclinação positiva e, então, imediatamente, a inclinação se torna negativa. Portanto, a derivada da função em x₂ não é definida. E, de novo, eu não estou provando nada, só estou dando uma ideia intuitiva. Ou seja, quando você tem um extremo que não está no ponto final de um intervalo. Ou seja, quando não está. Deixe-me colocar aqui um plano cartesiano. Vamos dizer que aqui nós temos um ponto. E aí, a função começa aqui e continua. Este seria um ponto máximo, mas seria um ponto final. Ou seja, eu não estou falando deste tipo de extremo. Eu estou falando quando temos vários pontos na curva ou quando o nosso intervalo é infinito. Então, eu não estou falando de pontos iguais a este e nem de pontos iguais a este. Eu estou falando de pontos dentro da curva. Eu acho que ficou claro, não é? Mas, enfim, se você tem um ponto em um intervalo, será mínimo ou máximo. E foi o que vimos aqui em intuitivamente. Então, eu posso dizer aqui que um mínimo ou máximo em x = a. Claro, sem ser um ponto extremos. A derivada da função no ponto "a" é igual a zero, ou esta derivada neste ponto não é definida, que é a mesma coisa que dizer que é indefinida. Foi o que vimos nestes casos. Ou seja, a derivada aqui deu zero, a derivada aqui deu zero e a derivada aqui deu não definida, que é a mesma coisa que dizer que é indefinida. E estes pontos onde a derivada é igual a zero ou é indefinida são chamados de pontos críticos. Com isso, os pontos críticos dessa função são: x₀, que é quando a derivada da função é igual a zero, x₁, que também tem uma derivada igual a zero, e x₂, onde a derivada é indefinida. E aí, eu te pergunto: sabendo disso, para encontrar o máximo ou mínimo, nós devemos descobrir se a derivada naquele ponto é igual a zero ou se a derivada é indefinida? Para entender isso, vamos pensar em um ponto mais ou menos aqui que tem uma coordenada x₃. Se nós pensarmos na reta tangente a este ponto, parece que a derivada de x₃ é igual a zero. E baseado na nossa definição, x₃ seria um ponto crítico, mas se você olhar para ele, não parece ser máximo ou mínimo. Ou seja, ser um ponto crítico não necessariamente significa ser máximo ou mínimo. Com isso, consideramos somente estes três como máximos ou mínimos. E este aqui é um ponto crítico, mas não é nem mínimo, nem máximo. E, no próximo vídeo, você vai aprender a diferenciar isso. Ou seja, você vai aprender a descobrir quando existe o ponto mínimo ou máximo em um ponto crítico. E eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!