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Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5

Lição 4: Extremos relativos (locais)

Cálculo de extremos relativos (teste da derivada de primeira ordem)

O teste da derivada de primeira ordem é o processo de análise de funções usando a derivada de primeira ordem de forma a encontrar os seus pontos extremos. Isso envolve diversos passos, então precisamos descompactar esse processo de uma forma que ajude a evitar omissões ou erros prejudiciais.

E se nós lhe disséssemos que dada a equação da função, você pode encontrar todos os seus pontos mínimos e máximos? É verdade! Este processo é chamado de teste da derivada de primeira ordem. Vamos desenvolvê-lo de uma maneira que ele ajude a evitar erros ou omissões que podem prejudicá-lo.

Exemplo: como encontrar os pontos de extremo relativos de $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ ‍

Etapa 1: calcular $f^{'} (x)$ ‍

Para encontrar os pontos de extremo relativos de

f

, devemos usar

f^{'}

. Então, começamos calculando a derivada de

f

f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 1)^{2}}

Etapa 2: calcular todos os pontos críticos e todos os pontos nos quais $f$ ‍ é indefinida.

Os pontos críticos de uma função

f

são os valores de

x

, dentro do domínio de

f

, para os quais

f^{'} (x) = 0

ou nos quais

f^{'}

é indefinida. Além disso, devemos procurar pontos nos quais a função

f

em si é indefinida.

O importante sobre esses pontos é lembrar que o sinal de

f^{'}

deve permanecer o mesmo entre dois pontos consecutivos.

No nosso caso, esses pontos são

x = 0

x = 1

x = 2

Etapa 3: analisar intervalos de crescimento ou decrescimento

Isso pode ser feito de várias maneiras, mas gostamos de usar uma tabela de sinais. Em uma tabela de sinais, pegamos um valor de teste em cada intervalo delimitado pelos pontos calculados na Etapa 2 e verificamos o sinal da derivada naquele valor.

Esta é a tabela de sinais da nossa função:

Intervalo	Valor de $x$ ‍ do teste	$f^{'} (x)$ ‍	Conclusão
$(- \infty, 0)$ ‍	$x = - 1$ ‍	$f^{'} (- 1) = 0, 75 > 0$ ‍	$f$ ‍ é crescente $↗$ ‍
$(0, 1)$ ‍	$x = 0, 5$ ‍	$f^{'} (0, 5) = - 3 < 0$ ‍	$f$ ‍ é decrescente $↘$ ‍
$(1, 2)$ ‍	$x = 1, 5$ ‍	$f^{'} (1, 5) = - 3 < 0$ ‍	$f$ ‍ é decrescente $↘$ ‍
$(2, \infty)$ ‍	$x = 3$ ‍	$f^{'} (3) = 0, 75 > 0$ ‍	$f$ ‍ é crescente $↗$ ‍

Etapa 4: encontrar pontos de extremo

Agora que sabemos os intervalos nos quais

f

é crescente ou decrescente, podemos encontrar seus pontos de extremo. Um ponto de extremo é um ponto em que

f

é definida e

f^{'}

muda de sinal.

Em nosso caso:

$f$ ‍ é crescente antes de $x = 0$ ‍, decrescente depois desse valor e, definida em $x = 0$ ‍. Então, $f$ ‍ tem um ponto máximo relativo em $x = 0$ ‍.
$f$ ‍ é decrescente antes de $x = 2$ ‍, crescente depois desse valor e, definida em $x = 2$ ‍. Então, $f$ ‍ tem um ponto mínimo relativo em $x = 2$ ‍.
$f$ ‍ é indefinida em $x = 1$ ‍, portanto ela não tem um ponto de extremo ali.

Problema 1

Júnior tinha que encontrar onde

f (x) = 2 x^{3} + 18 x^{2} + 54 x + 50

tinha um ponto de extremo relativo. Esta foi sua resposta:

Etapa 1:

f^{'} (x) = 6 (x + 3)^{2}

Etapa 2: a solução de

f^{'} (x) = 0

x = - 3

Etapa 3:

f

tem um ponto de extremo relativo em

x = - 3

A resposta de Júnior está correta? Se não, que erro ele cometeu?

(Escolha A)
A resposta de Júnior está correta.
(Escolha B)
A etapa 1 está incorreta. Júnior não calculou a derivada de $f$ ‍ corretamente.
(Escolha C)
A etapa 2 está incorreta. $f^{'} (- 3)$ ‍ não é igual a zero.
(Escolha D)
A etapa 3 está incorreta. $x = - 3$ ‍ é apenas um candidato a ponto de extremo relativo.

Erro comum: não conferir os pontos críticos

Lembrete: não devemos presumir que qualquer ponto crítico é um ponto de extremo. Em vez disso, devemos verificar os pontos críticos para ver se a função é definida nesses pontos e se a derivada muda de sinal nesses pontos.

Problema 2

Helen deve descobrir se

g (x) = (x^{2} - 1)^{2 / 3}

tem um máximo relativo. Esta foi sua solução:

Etapa 1:

g^{'} (x) = \frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}

Etapa 2: o ponto crítico é

x = 0

Etapa 3:

Intervalo	Teste do valor de $x$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍	Conclusão
$(- \infty, 0)$ ‍	$x = - 3$ ‍	$g^{'} (- 3) = - 2 < 0$ ‍	$g$ ‍ é decrescente $↘$ ‍
$(0, \infty)$ ‍	$x = 3$ ‍	$g^{'} (3) = 2 > 0$ ‍	$g$ ‍ é crescente $↗$ ‍

Etapa 4:

g

é decrescente antes de

x = 0

e crescente depois disso, então existe um mínimo relativo em

x = 0

e nenhum máximo relativo.

A resolução de Helen está correta? Se não, qual foi seu erro?

(Escolha A)
O trabalho de Helen está correto.
(Escolha B)
A Etapa 2 está incorreta. Helen também deveria ter observado se havia pontos em que $g$ ‍ ou $g^{'}$ ‍ são indefinidas.
(Escolha C)
A etapa 3 está incorreta. $g^{'} (- 3)$ ‍ é positivo, então $g$ ‍ na verdade é crescente antes de $x = 0$ ‍.
(Escolha D)
A etapa 3 está incorreta. Helen deveria ter calculado $g (3)$ ‍ em vez de $g^{'} (3)$ ‍.

Erro comum: não incluir pontos nos quais a derivada é indefinida

Lembrete: quando analisamos intervalos crescentes e decrescentes, devemos procurar todos os pontos nos quais a derivada é igual a zero e todos os pontos nos quais a função ou sua derivada é indefinida. Se você se esquecer de encontrar algum desses pontos, provavelmente terminará com uma tabela de sinais incorreta.

Problema 3

Jacó deve descobrir se

h (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}

tem um máximo relativo. Esta foi sua solução:

Etapa 1:

h^{'} (x) = \frac{2 (x^{4} - 1)}{x^{3}}

Etapa 2: os pontos críticos são

x = - 1

x = 1

, e

h

é indefinida em

x = 0

Etapa 3:

Intervalo	Teste do valor de $x$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍	Conclusão
$(- \infty, - 1)$ ‍	$x = - 2$ ‍	$h^{'} (- 2) = - 3, 75 < 0$ ‍	$h$ ‍ é decrescente $↘$ ‍
$(- 1, 0)$ ‍	$x = - 0, 5$ ‍	$h^{'} (- 0, 5) = 15 > 0$ ‍	$h$ ‍ é crescente $↗$ ‍
$(0, 1)$ ‍	$x = 0, 5$ ‍	$h^{'} (0, 5) = - 15 < 0$ ‍	$h$ ‍ é decrescente $↘$ ‍
$(1, \infty)$ ‍	$x = 2$ ‍	$h^{'} (2) = 3, 75 > 0$ ‍	$h$ ‍ é crescente $↗$ ‍

Etapa 4:

h

é crescente antes de

x = 0

e decrescente depois disso, então

h

tem um ponto máximo em

x = 0

Os cálculos de Jacó estão corretos? Se não, que erro ele cometeu?

(Escolha A)
Os cálculos de Jacó estão corretos.
(Escolha B)
A etapa 1 está incorreta. Jacó não derivou $h$ ‍ corretamente.
(Escolha C)
A Etapa 2 está incorreta. Há outros pontos críticos que ele não encontrou.
(Escolha D)
A Etapa 4 está incorreta. $x = 0$ ‍ não está no domínio de $h$ ‍, então ele não pode ser um ponto de extremo.

Erro comum: esquecer de verificar o domínio da função

Lembrete: depois de encontrar pontos nos quais a função muda de direção, é preciso verificar se a função é definida nesses pontos. Caso contrário, esse ponto não será um extremo relativo.

Pratique aplicar o teste da derivada de primeira ordem

Problema 4

Seja

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 2

$f$ ‍ tem um máximo relativo para quais valores de $x$ ‍?

Problema 5

Seja

g

uma função polinomial e

g^{'}

sua derivada, definida como

g^{'} (x) = x (x + 2) (x + 4)^{2}

Em quantos pontos o gráfico de $g$ ‍ tem um máximo relativo?

Quer praticar mais? Tente este exercício.

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Erro comum: esquecer de verificar o domínio da função

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