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Análise de erros no cálculo de pontos extremos (exemplo 1)

Análise dos cálculos de alguém que tentou encontrar os pontos extremos de uma função para verificar se há algum erro.

Transcrição de vídeo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos resolver um problema sobre erros ao encontrar um extremo esse exercício diz o seguinte Pâmela foi solicitada encontrar onde HD x igual a x ao cubo menos 6 x ao quadrado mais 12x tem um extremo relativo essa daqui é a solução dela no Passo 1 parece que ela tentou calcular a derivada já no passo 2 ela tentou encontrar a solução onde a derivada é igual a zero e ela descobriu que isso acontece em x = 2 e aí ela disse que esse é um ponto crítico na etapa 3 ela fez a conclusão dizendo que a gata em um extremo relativo em x = 2 enfim o trabalho de Pamela está correto se não qual foi o erro dela pode esse a pensar nisso sozinho ou sozinha e aí veja se o trabalho de Pâmela Está correto bem fez vamos fazer juntos agora vamos tentar fazer isso novamente Seguindo os passos dela então primeiro vamos calcular a derivada aqui portanto a galinha de x = que baixo usar a regra da potência algumas vezes aí teremos aqui 3X ao quadrado para o X ao cubo agora a gente tem aqui duas vezes seis negativo que é menos 12x + a derivada de 2x que é 12 e vamos ver agora podemos fato horário isso aqui a gente coloca o três em evidência E aí teremos isso é que entre parênteses x ao quadrado menos 4x mais quatro e essa parte de fato igual a x menos 2 ao quadrado Então isso é igual a três vezes x menos 2 ao quadrado Portanto o primeiro passo está certinho E agora temos a segunda etapa que é a solução de a galinha de X sendo igual a zero quando x = 2 vamos fazer isso aqui do lado colocando aqui três vezes x menos 2 ao quadrado que a galinha de X a primeira derivada da função igualando só que com 0 Isso vai ser verdade quando x = 2 na verdade qualquer ponto onde a primeira derivada é igual a zero ou é indefinida teremos de fato um ponto crítico então é cê tá parece boa até agora agora eu tava três em que a gata em um extremo relativo em x = 2 A Pâmela fez uma grande conclusão aqui ela sumiu aqui que temos um extremo relativo porque a primeira derivada é igual a zero bem vamos ver aqui se a gente consegue chegar a essa mesma conclusão para a gente ter um extremo relativo temos que ter uma curva que vai se parecer com isso aqui nós teremos é relativo bem aqui a inclinação inicialmente a positiva aí chega a zero depois passa a ser negativa também podemos ter um extremo relativo como esse outro caso aqui aqui nesse ponto mínimo temos uma inclinação igual a zero mas antes disso a inclinação foi negativa e depois disso positiva no entanto existem casos em que a primeira derivada é zero mas aí não teremos um extremo por exemplo a gente poderia ter uma curva como essa aqui em que nesse ponto a inclinação ou a derivada é igual a zero mas Observe que por mais que a primeira derivada seja zero a inclinação Antes desse ponto a positiva aí chega a zero e depois volta a ser positiva novamente Sendo assim você não pode fazer uma conclusão de que um ponto é definitivamente um extremo só porque a derivada nesse ponto é zero Você pode até dizer que é um ponto crítico então aí Etapa 2 está correta mas para chegar a a fusão aqui você primeiro tem que testar o que a derivada está fazendo antes e depois desse ponto e aí verificar se essa derivada está trocando de lado inclusive podemos fazer isso aqui agora mesmo para isso vamos fazer uma pequena tabela aqui nessa tabela o vou colocar duas colunas uma coluna com x e a outra coluna com a galinha DX sabemos que quando x = 2 a galinha de 2 = 0 esse é o nosso. Crítico mas vamos ver o que acontece quando x = 1 e também vamos ver o que acontece quando X = 3 eu estou usando pontos de amostragem em cada um dos lados aqui de 2 ok bem vamos ver aqui então quando x = 1 a galinha de um é três vezes um menos 2 ao quadrado um menos dois é menos um e isso ao quadrado é um positivo isso vezes três ainda é três positivo e agora vamos calcular a galinha para x = 3 temos 3 - 2 ao quadrado vezes 3 isso também vai ser três portanto Essa é realmente uma situação onde como eu acabei de desenhar aqui a nossa inclinação é positiva antes de atingirmos um ponto crítico aí chegamos a 0 mas depois essa inclinação volta a ser positiva novamente e é por isso que você realmente tem que fazer esse teste a fim de identificar se é um extremo aqui nesse caso isso não é o extremo sendo assim não temos um ponto de máximo ou de minímo aqui então o trabalho de Pamela não está correto e o seu erro é o terceiro passo para fazer essa conclusão aqui ela teria que testar valores Em ambos os lados desse ponto crítico ou seja fazer o teste da primeira derivada Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que a gente viu aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima Oi