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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5
Lição 4: Extremos relativos (locais)- Introdução a pontos de máximo e de mínimo
- Cálculo de extremos relativos (teste da derivada de primeira ordem)
- Exemplo: encontrando pontos extremos
- Análise de erros no cálculo de pontos extremos (exemplo 1)
- Análise de erros no cálculo de pontos extremos (exemplo 2)
- Cálculo de extremos relativos (teste da derivada de primeira ordem)
- Mínimos e máximos relativos
- Revisão de mínimos e máximos relativos
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Análise de erros no cálculo de pontos extremos (exemplo 1)
Análise dos cálculos de alguém que tentou encontrar os pontos extremos de uma função para verificar se há algum erro.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um problema
sobre erros ao encontrar um extremo. Esse exercício diz o seguinte: Pâmela foi solicitada a encontrar onde h(x) igual a x³ menos 6² mais 12x
tem um extremo relativo. Essa daqui é a solução dela. No passo um parece que ela tentou calcular a derivada, já no passo dois ela tentou encontrar a solução
onde a derivada é igual a zero e ela descobriu que isso acontece em x é igual a 2, e então ela disse
que esse é um ponto crítico. Na etapa três ela fez a conclusão dizendo que h tem um extremo relativo
em x igual a 2. Enfim, o trabalho de Pâmela está correto? Se não, qual foi o erro dela? Pause este vídeo,
tente pensar nisso sozinho ou sozinha e veja se o trabalho de Pâmela está correto. Fez? Vamos fazer juntos agora? Vamos tentar fazer isso novamente
seguindo os passos dela. Então primeiro vamos calcular a derivada aqui. Portanto h'(x) é igual a... Aqui basta usar a regra da potência algumas vezes. Teremos aqui 3x² para x³. Agora a gente tem aqui 2 vezes -6,
que é -12x mais a derivada de 12x,
que é 12. Vamos ver. Agora podemos fatorar isso aqui. A gente coloca o 3 em evidência
e teremos isto entre parênteses: (x² menos 4x mais 4) e essa parte é de fato
igual a (x menos 2)². Então isso é igual
a 3 vezes (x menos 2)². Portanto o primeiro passo está certinho. Agora temos a segunda etapa, que é a solução de h'(x) sendo igual a zero
quando x é igual a 2. Vamos fazer isso aqui do lado. Colocando 3 vezes (x menos 2)², que é h'(x),
a primeira derivada da função, e igualando isso aqui com zero, isso vai ser verdade
quando x é igual a 2. Na verdade, em qualquer ponto onde a primeira derivada
é igual a zero ou é indefinida teremos de fato um ponto crítico. Então esta etapa parece boa até agora. Vamos para a etapa três
em que h tem um extremo relativo em x é igual a 2. Pâmela fez uma grande conclusão aqui. Ela assumiu que temos um extremo relativo porque a primeira derivada
é igual a zero. Vamos ver aqui se a gente consegue chegar
a essa mesma conclusão. Para a gente ter um extremo relativo,
temos que ter uma curva que vai se parecer com isso aqui. Nós teremos um extremo relativo bem aqui. A inclinação inicialmente é positiva,
então chega a zero, depois passa a ser negativa. Também podemos ter um extremo relativo
como neste outro caso. Aqui nesse ponto mínimo
temos uma inclinação igual a zero, mas antes disso a inclinação foi negativa
e depois disso, positiva. No entanto, existem casos em que a primeira derivada é zero, mas não teremos um extremo. Por exemplo, a gente poderia ter uma curva
como essa aqui, em que nesse ponto a inclinação
ou a derivada são iguais a zero, mas observe que por mais que a primeira derivada seja zero, a inclinação antes desse ponto é positiva, então chega a zero
e depois volta a ser positiva. Sendo assim, você não pode fazer uma conclusão
de que um ponto é definitivamente um extremo só porque a derivada nesse ponto é zero. Você pode até dizer que é um ponto crítico,
então a etapa dois está correta, mas para chegar a essa conclusão, você primeiro tem que testar
o que a derivada está fazendo antes e depois desse ponto e então verificar se essa derivada
está trocando de lado. Inclusive podemos fazer isso aqui agora mesmo. Para isso vamos fazer uma pequena tabela. Nesta tabela vou colocar duas colunas: uma coluna com x
e a outra coluna com h'(x). Sabemos que quando x é igual a 2,
h'(2) é igual a zero. Esse é o nosso ponto crítico. Mas vamos ver o que acontece
quando x é igual a 1 e também vamos ver o que acontece
quando x é igual a 3. Eu estou usando pontos de amostragem
em cada um dos lados de 2, OK? Vamos ver aqui então. Quando x é igual a 1, h'(1) é 3 vezes (1 menos 2)². 1 menos 2 é -1 e isso ao quadrado é 1 positivo. Isso vezes 3 ainda é 3 positivo. Agora vamos calcular h'
para x igual a 3. Temos (3 menos 2)² vezes 3. Isso também vai ser 3. Portanto essa é realmente uma situação onde,
como eu acabei de desenhar aqui, a nossa inclinação é positiva
antes de atingirmos um ponto crítico, então chegamos a zero,
mas depois essa inclinação volta a ser positiva. É por isso que você realmente tem que fazer esse teste
a fim de identificar se é um extremo. Neste caso, isso não é um extremo. Sendo assim não temos um ponto de máximo
ou de mínimo aqui. Então o trabalho de Pâmela não está correto e o seu erro é o terceiro passo. Para fazer essa conclusão aqui, ela teria que testar valores
em ambos os lados desse ponto crítico, ou seja, fazer o teste da primeira derivada. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
o que a gente viu aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!