Análise de erros no cálculo de pontos extremos (exemplo 1)

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um problema sobre erros ao encontrar um extremo. Esse exercício diz o seguinte: Pâmela foi solicitada a encontrar onde h(x) igual a x³ menos 6² mais 12x tem um extremo relativo. Essa daqui é a solução dela. No passo um parece que ela tentou calcular a derivada, já no passo dois ela tentou encontrar a solução onde a derivada é igual a zero e ela descobriu que isso acontece em x é igual a 2, e então ela disse que esse é um ponto crítico. Na etapa três ela fez a conclusão dizendo que h tem um extremo relativo em x igual a 2. Enfim, o trabalho de Pâmela está correto? Se não, qual foi o erro dela? Pause este vídeo, tente pensar nisso sozinho ou sozinha e veja se o trabalho de Pâmela está correto. Fez? Vamos fazer juntos agora? Vamos tentar fazer isso novamente seguindo os passos dela. Então primeiro vamos calcular a derivada aqui. Portanto h'(x) é igual a... Aqui basta usar a regra da potência algumas vezes. Teremos aqui 3x² para x³. Agora a gente tem aqui 2 vezes -6, que é -12x mais a derivada de 12x, que é 12. Vamos ver. Agora podemos fatorar isso aqui. A gente coloca o 3 em evidência e teremos isto entre parênteses: (x² menos 4x mais 4) e essa parte é de fato igual a (x menos 2)². Então isso é igual a 3 vezes (x menos 2)². Portanto o primeiro passo está certinho. Agora temos a segunda etapa, que é a solução de h'(x) sendo igual a zero quando x é igual a 2. Vamos fazer isso aqui do lado. Colocando 3 vezes (x menos 2)², que é h'(x), a primeira derivada da função, e igualando isso aqui com zero, isso vai ser verdade quando x é igual a 2. Na verdade, em qualquer ponto onde a primeira derivada é igual a zero ou é indefinida teremos de fato um ponto crítico. Então esta etapa parece boa até agora. Vamos para a etapa três em que h tem um extremo relativo em x é igual a 2. Pâmela fez uma grande conclusão aqui. Ela assumiu que temos um extremo relativo porque a primeira derivada é igual a zero. Vamos ver aqui se a gente consegue chegar a essa mesma conclusão. Para a gente ter um extremo relativo, temos que ter uma curva que vai se parecer com isso aqui. Nós teremos um extremo relativo bem aqui. A inclinação inicialmente é positiva, então chega a zero, depois passa a ser negativa. Também podemos ter um extremo relativo como neste outro caso. Aqui nesse ponto mínimo temos uma inclinação igual a zero, mas antes disso a inclinação foi negativa e depois disso, positiva. No entanto, existem casos em que a primeira derivada é zero, mas não teremos um extremo. Por exemplo, a gente poderia ter uma curva como essa aqui, em que nesse ponto a inclinação ou a derivada são iguais a zero, mas observe que por mais que a primeira derivada seja zero, a inclinação antes desse ponto é positiva, então chega a zero e depois volta a ser positiva. Sendo assim, você não pode fazer uma conclusão de que um ponto é definitivamente um extremo só porque a derivada nesse ponto é zero. Você pode até dizer que é um ponto crítico, então a etapa dois está correta, mas para chegar a essa conclusão, você primeiro tem que testar o que a derivada está fazendo antes e depois desse ponto e então verificar se essa derivada está trocando de lado. Inclusive podemos fazer isso aqui agora mesmo. Para isso vamos fazer uma pequena tabela. Nesta tabela vou colocar duas colunas: uma coluna com x e a outra coluna com h'(x). Sabemos que quando x é igual a 2, h'(2) é igual a zero. Esse é o nosso ponto crítico. Mas vamos ver o que acontece quando x é igual a 1 e também vamos ver o que acontece quando x é igual a 3. Eu estou usando pontos de amostragem em cada um dos lados de 2, OK? Vamos ver aqui então. Quando x é igual a 1, h'(1) é 3 vezes (1 menos 2)². 1 menos 2 é -1 e isso ao quadrado é 1 positivo. Isso vezes 3 ainda é 3 positivo. Agora vamos calcular h' para x igual a 3. Temos (3 menos 2)² vezes 3. Isso também vai ser 3. Portanto essa é realmente uma situação onde, como eu acabei de desenhar aqui, a nossa inclinação é positiva antes de atingirmos um ponto crítico, então chegamos a zero, mas depois essa inclinação volta a ser positiva. É por isso que você realmente tem que fazer esse teste a fim de identificar se é um extremo. Neste caso, isso não é um extremo. Sendo assim não temos um ponto de máximo ou de mínimo aqui. Então o trabalho de Pâmela não está correto e o seu erro é o terceiro passo. Para fazer essa conclusão aqui, ela teria que testar valores em ambos os lados desse ponto crítico, ou seja, fazer o teste da primeira derivada. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que a gente viu aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!