Exemplo: encontrando pontos extremos

se você já a função real GTX definida por g de x = x elevado a quarta menos x elevado a quinta potência para quais valores de x a função G tem um valor de máximo local vamos nos lembrar de como achar esse valor de máximo vou fazer aqui um desenho aleatório de um gráfico de uma função qualquer Então os máximos locais vão acontecer bem visualmente Você nota esse ponto aqui é um ponto de máximo local outro aqui e outro aqui e para existir o máximo local podemos observar que o gráfico da função vai crescente até o ponto de máximo depois ele se torna decrescente então quando tem essa mudança decrescente para decrescente nós sabemos que temos ali um ponto de máximo local como aqui nestes... Isso se traduz no fato de que a primeira derivada da função passe de positiva para negativa então olhando nesse primeiro intervalo a derivada de G seria positiva neste próximo intervalo em que a função G é derivado Então seria negativa Então vamos escrever aqui para obter máximo local o que nós estamos procurando é saber quando a derivada primeira da função G muda de positiva para a negativa e os valores que nos encontrarmos para isso são chamados pontos críticos e esses pontos críticos acontecem quando a derivada a primeira DG é zero ou indefinida Vamos então estudar a situação em que g linha de x = 0 a derivada fica 4x elevado a terceira - 5 x elevado a quarta potência e queremos que essa expressão seja igual a zero temos uma equação e nela podemos colocar o X elevado à terceira potência em evidência fatorando a ficamos com x elevado ao cubo vezes parênteses 4 -5 x isso tudo igual a zero e agora para resolver essa equação em que um produto uma multiplicação é igual a zero concluímos que x Ao Cubo é igual o ou 4 - 5x = 0 temos duas equações na verdade para resolver x Ao Cubo é igual a zero nos dá de imediato que x = 0 e 4 -5 x igual a zero ficamos com 4 = 5x então x igual a quatro quintos temos então aqui os dois valores de x em que temos pontos críticos em que a derivada primeira da função G é igual a zero agora a pontos em que a derivada primeira dgdx está indefinida bem nós temos a função original definida por um polinômio e a sua derivada É também um polinômio ao sabemos que funções polinomiais são definidas para todos os números reais desta forma temos somente esses dois valores de x determinando o pontos críticos pela derivada primeira agora vamos analisar como que a função G linha ou seja derivada de Jessy comporta nos intervalos determinados pelos valores críticos que encontramos para x Vou colocar aqui uma reta numerada para é isso com facilidade nesta reta eu vou me importar com 10 e com quatro quintos temos o ponto crítico aqui onde o x vale zero e temos um outro ponto crítico aqui onde X é quatro quintos agora vamos analisar o sinal dessa função G linha nestes intervalos que temos aqui queremos ver onde acontece a mudança de sinal de G linha Vamos tomar primeiro intervalo que vai de menos infinito até zero posso tomar qualquer valor de X desse intervalo e ver qual é o sinal obtido para G linha de X vou experimentar ou menos um é fácil de fazer a conta então se x for menos um o valor de G linha de X vai ser menos 1 elevado ao cubo X4 ou seja quatro vezes menos 1 - 5x o menos 1 elevado a quarta potência menos 1 elevado a quarta potência é um enfim nós estamos aqui -4 -5 que resulta em menos nove Na verdade estou interessado em saber o sinal que o gelinho a assumir nesse intervalo é negativo ou seja Então nesse intervalo de menos e até zero-g linha tem sinal negativo e isso indica que no intervalo de menos infinito até 0 a nossa função original G é decrescente Já podemos concluir que esse ponto crítico onde x igual a zero não é um ponto de máximo porque para ser um ponto de massa uma função tem que mudar de crescente para decrescente e nós já sabemos que neste primeiro intervalo a função G é decrescente vamos olhar então para os outros intervalos no intervalo então de 0 até quatro quintos vamos escolher um número entre 0 e 4 5 por exemplo um meio ele é fácil de fazer a conta calculando angelinha de e-mail nós vamos ter quatro vezes um meio elevado à terceira potência mas um meio elevado à terceira potência é um oitavo então teremos quatro oitavos que é simplesmente um meio menos cinco vezes o X elevado a quarta então um meio elevado a quarta que é um dezesseis avos vezes cinco ficamos com cinco dezesseis avos fazendo essa conta nós temos 8 16 ou menos cinco dezesseis avos que resulta em três dezesseis avos Na verdade eu só queria saber se esse resultado é positivo ou negativo e nós vemos aqui que Ele é positivo então neste intervalo de 0 até 45 nós já temos certeza de que G linha de x é positiva e significa que gdx nesse intervalo é uma função crescente vamos olhar para o último intervalo seja quando X é maior que quatro quintos Vamos tomar um valor para x que seja maior que 4 15 por exemplo número um vamos ver o valor então do G linha de 14 vezes um Ao Cubo que é 4 -5 X1 a quarta vai dar cinco então aqui temos menos um para o valor do G linha quando X vale um ou seja neste terceiro intervalo quando X a maior que quatro nós já sabemos que G linha é negativa consequência disso a função GP crescente Resumindo então no primeiro intervalo a nossa função é decrescente no segundo intervalo a função G é crescer bom e no terceiro intervalo a função G decrescente e agora pergunta em qual. Crítico nós estamos tendo a mudança da função G decrescente para a decrescente isso acontece podemos ver quando X vale quatro quintos a esquerda dele a função é crescente e depois dele a função é decrescente portanto quando x = 45 nós temos um ponto de máximo local para a função g e se a pergunta fosse qual é o valor de mínimo local bem nós procuraremos o ponto crítico em que a função G passa de decrescente para crescente mas nós já respondemos a pergunta do problema e encerramos por aqui até o próximo vídeo