Introdução a pontos de máximo e de mínimo

RKA - Aqui eu fiz o gráfico de uma função y, igual a f(x). Eu desenhei nesse intervalo aqui, que parece que vai do zero até a algum número positivo aqui. E aí, o que eu quero abordar neste vídeo é sobre os pontos de máximo e de mínimo desse gráfico. Aqui nesse gráfico, parece muito óbvio que o valor absoluto máximo dessa função ocorre bem aqui, bem no comecinho, esse valor aqui é o valor máximo da função, nesse intervalo. E o valor mínimo absoluto é esse aqui no finalzinho. Se eu chamar esses pontos iniciais aqui no eixo do x de "a" e "b", vamos ter que o valor máximo desse gráfico vai ser a f(a), e o valor mínimo desse gráfico aqui é quando x é igual a "b". Então, vou ter aqui f(b). Mas, você pode pensar o seguinte: nós temos outros pontos interessantes aqui. Esse ponto aqui, ele pode não ser o máximo da função, mas ele tem um certo valor máximo relativo e aqui nós temos um certo valor relativo mínimo, nesse gráfico. Agora, perceba esse valor aqui e esse aqui também, vamos concentrar nesse aqui, ele não é o valor máximo da função, no geral, mas é relativamente, a outros valores vizinhos aqui a ele, ele é sim um valor máximo, ele é um valor máximo relativo a seus vizinhos. Então, digamos que aqui nós tenhamos o valor do x igual a "c", vamos colocar aqui x = c, aqui nós teríamos o quê? A f(c). E eu vou chamar aqui esse valor da f(c), bem nesse ponto aqui, eu vou chamá-lo de f(c) como sendo um ponto máximo, ponto máximo relativo. E eu estou chamando esse ponto f(c) de ponto máximo relativo, porque, relativamente aos pontos que são vizinhos dele aqui, ele me parece ser o ponto máximo. E, de maneira similar, fazendo uma analogia que acabamos de fazer com a f(c), esse ponto aqui, que eu vou chamar de "d", aqui no eixo do x, portanto o seu correspondente no y vai ser o quê? Vai ser a f(d). Esse f(d), esse pontinho aqui, de maneira análoga, ao que nós fizemos aqui com a f(c), essa f(d), ela é um ponto só que não é máximo, é um ponto mínimo relativo, ponto mínimo relativo. E funciona também da mesma forma que a f(c). Relativamente aos outros pontos vizinhos aqui, ele parece ser um ponto mínimo. E, novamente, eu explico: esse ponto aqui não é o menor de toda a função, de todo o intervalo. A gente percebe que quando o x é igual a "b", ele atinge aqui o valor mínimo absoluto, o menor de todos está aqui na f(b), quando o x vale "b". Porém, na vizinhança do ponto "d" aqui, desse ponto x = d, que nós temos aqui a f(d), esse pontinho me parece o mínimo em relação aos seus vizinhos imediatos aqui. Portanto, você pode pensar assim: compreendi. O ponto máximo relativo aqui vai ser esse ponto que dá para a gente perceber, apenas olhando para o gráfico, que esse ponto aqui é um ponto máximo relativo, é relativo aos seus vizinhos e que esse ponto "d", f(d) é o ponto mínimo relativo em seus vizinhos, o ponto local relativo mínimo. Agora o seguinte, como eu posso escrever isso daqui matematicamente? Eu vou escrever aqui para vocês a definição que é só apenas uma maneira mais rigorosa, mais matemática de escrever o que eu acabei de explicar. Portanto, eu vou dizer aqui que a f(c) é um ponto máximo relativo, é um ponto máximo relativo, se a nossa f(c) for maior ou igual a uma f(x) para todo x, para todo x, e aí, nós podemos dizer o seguinte, posso dizer de forma pouco formal aqui, para todo x que estiver próximo, próximo de "c", só que essa forma de falar não é uma forma muito rigorosa de escrever matematicamente isso. Então, eu posso escrever da seguinte maneira: eu vou escrever aqui para todo x que pertence a um intervalo aberto que vai do "c" menos um valor h, até o c + h aqui, onde esse valor h é maior do que zero, esse h tem que ser um número positivo. E agora, isso faz sentido para você? Não? Vamos analisar aqui no gráfico só para a gente entender melhor o que isso tudo está querendo dizer. Eu posso pegar, claro, infinitos intervalos abertos aqui em que isso vai ser verdade, mas nós podemos construir, por exemplo, intervalo aqui que seja esse intervalo. E aí, eu sei que esse valor aqui vai ser o valor de c + h e esse valor aqui vai ser o valor de quê? c - h. Ou seja, eu sei que nesse intervalo desse pontinho aqui até esse pontinho aqui, esse valor aqui onde eu coloquei a f(c), ele é um valor, um ponto máximo relativo a esses vizinhos. Ou seja, a f(c) definitivamente é maior ou igual aos valores da f(x) que estão dentro desse intervalo. E agora, se você quiser, você pode pausar o vídeo e tentar escrever, de maneira similar, qual seria a definição matemática, escrever matematicamente definição para o valor do ponto mínimo relativo. Eu posso dizer o seguinte, que a f(d) é um ponto mínimo relativo, é um ponto mínimo relativo, se a nossa f(d) for um valor menor ou igual a uma f(x) e é claro, para todo x, para todo x que pertence a um intervalo aberto aqui, nesse caso sendo d - h até o d + h, no intervalo aberto, novamente para um h maior do que zero, um h positivo. E, novamente, analisando no gráfico aqui, eu posso determinar esse intervalo, por exemplo, em que vai desse ponto aqui no gráfico até esse ponto aqui no gráfico, aqui seria o d + h, aqui seria o d - h. E, dentro desse intervalo aqui, esse ponto da f(d), ele é um ponto mínimo relativo aos seus vizinhos, dentro desse intervalo, pois a f(d) vai ser sempre menor ou igual a todos os outros valores que estão nesse intervalo vizinho aqui. E portanto, em linguagem cotidiana, só para concluir, eu posso dizer que a f(c) é um ponto máximo relativo quando ele é o maior ponto aqui dentro do intervalo aberto dado. Ele é o maior ponto em relação aos seus vizinhos próximos aqui. E a f(d) é um ponto mínimo relativo quando acontece o contrário, quando ele é o menor valor entre os seus vizinhos aqui imediatos, dentro de um intervalo que eu vou considerar. Então, é isso. Até o próximo vídeo!