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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5
Lição 12: Analisando relações implícitasTangente horizontal à curva implícita
Como encontrar a equação da tangente horizontal à curva definida implicitamente como uma equação em x e y.
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Transcrição de vídeo
RKA14^C Olá, meu amigo e minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver
um pequeno problema sobre a tangente de uma curva. O problema diz o seguinte: Somos instruídos a considerar
a curva dada pela equação x² + y⁴ + 6x = 7. Mostre que a derivada de y em relação a x
é igual a esta expressão aqui. Bem, você pode descobrir isso por meio de uma diferenciação implícita, e resolver isso para dy/dx. Inclusive, a gente já fez isso
em outros vídeos, mas, continuando aqui... Escreva a equação da reta horizontal que é tangente à curva
e está acima do eixo x. Bem, pause este vídeo e tente
descobrir isso sozinho ou sozinha. E aí, conseguiu fazer? Se não, não tem problema,
a gente vai fazer isso juntos agora. Bem, vamos ter certeza que estamos
visualizando isto aqui direito. Então, deixa eu desenhar
um diagrama rápido aqui, agora. Este aqui é o meu eixo y,
e este é o meu eixo x. Eu não sei exatamente
como esta curva se parece, mas vamos imaginar que a curva
tenha este formato aqui. Bem, baseado no que eu acabei de desenhar, haveria duas retas tangentes. A primeira pode estar aqui, e a segunda talvez esteja por aqui. O problema pede a reta horizontal que é tangente à curva
e que está acima do eixo x. Então, o que nós sabemos? O que precisa ser verdade para
esta reta tangente ser horizontal? Bem, para isso acontecer neste ponto, dy/dx tem que ser igual a zero. Na verdade, isso tem que acontecer
em ambos os pontos. Bem, nós já sabemos o que é dy/dx. Nós sabemos que dy/dx é igual a -2 vezes (x + 3) dividido por 4 vezes y³. Sabendo disso, quando isso
vai ser igual a zero? Bem, isso vai ser igual a zero quando o nosso numerador for igual a zero, e o nosso denominador não for. Então, quando o nosso numerador
será igual a zero? Bem, isso acontece quando x = -3. Afinal, quando x = -3,
a derivada é igual a zero. Agora, qual será o valor de y
correspondente a esse x = -3? Bem, a gente consegue saber isso
por meio desta equação aqui em cima. Resolvendo-a, nós teremos y
igual a alguma coisa. Bem, para descobrir isso,
nós apenas pegamos esse x = -3, substituímos aqui na equação original
e resolvemos para y. Vamos fazer isso, então! Teremos aqui
(-3)² + y⁴ + 6 vezes (-3), isso sendo igual a 7. Bem, isto aqui é 9. E isto aqui é -18. Aí, mantemos o y⁴ aqui e resolvemos 9 - 18,
que é igual a -9. E tudo isso é igual a 7. Agora, basta a gente adicionar 9
em ambos os lados. Chegamos à conclusão de que y⁴ = 16. Sendo assim, a gente pode dizer
que y = ± 2. Com esse resultado,
chegamos à conclusão de que existem duas retas horizontais: uma em y = 2 e
a outra em y = -2. Mas o problema pede apenas a equação da reta horizontal
tangente à curva que está acima do eixo x. Bem, só esta aqui vai estar
acima do eixo x. Terminamos! Então, y = 2. Bem, meu amigo ou minha amiga,
espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. Mais uma vez quero deixar para você
um grande abraço. Até a próxima!