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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5
Lição 3: Intervalos nos quais uma função é crescente ou decrescenteRevisão de intervalos crescentes e decrescentes
Faça uma revisão de como usar o cálculo diferencial para encontrar os intervalos nos quais uma função é crescente ou decrescente.
Como posso encontrar intervalos crescentes e decrescentes com cálculo diferencial?
Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa).
Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).
Quer aprender mais sobre intervalos crescentes/decrescentes e cálculo diferencial? Confira este vídeo.
Exemplo 1
Vamos encontrar os intervalos em que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7 é crescente ou decrescente. Primeiro, diferenciamos f:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 9
Agora, queremos descobrir os intervalos em que f, prime é positiva ou negativa.
f, prime cruza o eixo x quando x, equals, minus, 3 e x, equals, 1, então seu sinal deve ser constante em cada um dos seguintes intervalos:
Vamos avaliar f, prime em cada intervalo para ver se ela é positiva ou negativa nesse intervalo.
| Intervalo | valor de x | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusão |
|---|---|---|---|
| x, is less than, minus, 3 | x, equals, minus, 4 | f, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0 | f é crescente. \nearrow |
| minus, 3, is less than, x, is less than, 1 | x, equals, 0 | f, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0 | f é decrescente. \searrow |
| x, is greater than, 1 | x, equals, 2 | f, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0 | f é crescente. \nearrow |
Então, f é crescente quando x, is less than, minus, 3 ou quando x, is greater than, 1 e decrescente quando minus, 3, is less than, x, is less than, 1.
Exemplo 2
Vamos descobrir os intervalos em que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 3, x, start superscript, 5, end superscript é crescente ou decrescente. Primeiro, vamos diferenciar f:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 15, x, start superscript, 4, end superscript
Agora, queremos descobrir os intervalos em que f, prime é positiva ou negativa.
f, prime cruza o eixo x quando x, equals, 0 e x, equals, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, então seu sinal deve ser constante em cada um dos seguintes intervalos:
Vamos avaliar f, prime em cada intervalo para ver se ela é positiva ou negativa nesse intervalo.
| Intervalo | Valor de x | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusão |
|---|---|---|---|
| x, is less than, 0 | x, equals, minus, 1 | f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, 21, is less than, 0 | f é decrescente. \searrow |
| 0, is less than, x, is less than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction | x, equals, 1 | f, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0 | f é decrescente. \searrow |
| start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, is less than, x | x, equals, 3 | f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 243, is greater than, 0 | f é crescente. \nearrow |
Como f é decrescente antes de x, equals, 0 e depois de x, equals, 0, ela também é decrescente em x, equals, 0.
Portanto, f é decrescente quando x, is less than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction e crescente quando x, is greater than, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction.
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Estando a derivada em formato de equação do segundo grau pode-se utilizar bhaskara para encontrar os pontos críticos ou esse processo estará correto apenas se colocarmos em evidencia um termo?(5 votos)
para descobrir os pontos críticos de uma equação do segundo grau você deve usar bhaskara, a não ser que o termo independente seja igual a zero, neste caso basta colocar o X em evidência.(5 votos)