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Como encontrar o intervalo decrescente dada a função

Sal encontra os intervalos nos quais a função f(x)=x⁶-3x⁵ é decrescente, descobrindo onde f' é negativa.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Nós temos a função f(x) = x⁶ - 3x⁵. Quais os intervalos em que a função "f" é decrescente? Para que ela seja decrescente, basta que sua derivada seja negativa, ou seja, f'(x), que vai ser 6x⁵ - 15x⁴, tem que ser menor do que zero. Se nós fatorarmos, vamos ter: 3x⁴ em evidência e ficamos com: 6x⁵ por 3x⁴, vamos ficar com 2x. E -15x⁴ por 3x⁴, vamos ficar com -5. Isto deve ser menor do que zero. Para que uma multiplicação seja menor do que zero, nós temos que ter sinais opostos: ou é menos com mais, ou é mais com menos. Ou seja: ou nós temos 3x⁴ maior do que zero e 2x - 5 menor do que zero, ou temos 3x⁴ menor do que zero e 2x - 5 maior do que zero, pois assim os sinais são contrários e esta multiplicação vai dar negativa. Vamos analisar o primeiro: 3x⁴ é maior do que zero? Nós temos 3x⁴ maior do que zero. E x⁴ sempre vai ser maior do que zero, pois, se "x" for negativo e é elevado a um expoente par, vai ficar positivo; e, se "x" for positivo, vai continuar sendo positivo. O menor valor que x⁴ pode assumir seria quando x = 0. Mas, "x" sendo zero, não é maior do que zero. Ou seja, "x" não pode ser zero, ainda mais porque, se "x" for zero, esta multiplicação dá zero e, obviamente, a função não é decrescente. No ponto em que ela vale zero, a inclinação é igual ao eixo do "x". Ao mesmo tempo, nós temos que 2x vai ser menor do que 5. Ou seja, "x" é menor do que 5/2. Portanto, para esta expressão, nós temos a seguinte solução: "x" é menor do que 5/2 e "x" é diferente de zero. Vamos ver esta outra. Nós vamos ter aqui: x⁴ menor do que zero. A gente já sabe que não pode, o menor valor é zero. Ele não pode ser menor do que zero se este "x" for um número real. Portanto, nós podemos excluir toda esta segunda expressão. Uma vez que 3x⁴ não pode ser menor do que zero, significa que este lado não pode ser negativo. Se este lado não pode ser negativo, só quem vai dar o sinal de positivo ou negativo é este lado de cá. Ou seja, "x" tem que ser menor do que 5/2. Com isso, torna este fator negativo. Mas, ao mesmo tempo, ele tem que ser diferente de zero. Outra maneira de você escrever seria: "x" entre 5/2 e zero ou "x" menor do que zero. Desta forma, você excluiu o zero, ou seja, você tem que "x" tem que estar no intervalo de zero até 5/2, excluindo o zero e excluindo o 5/2, o que tornaria esta expressão aqui zero; ou "x" menor do que zero, portanto, ele é menor do que 5/2 mas ele também é diferente de zero. Com isso, nós temos todos os intervalos em que a função é decrescente.