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Transcrição de vídeo

você pode pensar que o teorema do valor médio é só mais um teorema misterioso que aparece nas aulas de cálculo o que quero mostrar neste vídeo é que o teorema do valor médio tem sido utilizado pelo menos implicitamente para dar multas por alta velocidade algumas pessoas vamos pensar em um exemplo digamos que aqui temos uma cabine de pedágio neste ponto a e você passa por ela exatamente à uma hora da tarde então os computadores da rodovia registram isso digamos que você tem no seu automóvel um desses equipamentos em que o pedágio registra quem você é e cobra diretamente dali etc será que você estava então nessa cabine de pedágio a à uma da tarde exatamente então você sai dessa cabine de pedágio e mais adiante existe uma cabine de pedágio b a qual você chega exatamente às duas horas da tarde digamos também que a distância entre as cabines a e b indo por essa estrada é de 130 quilômetros nessa estrada o limite de velocidade permitida é de 90 quilômetros por hora a questão é as autoridades podem provar que você ultrapassou esse limite de velocidade vamos representar isso graficamente acho que você sabe onde queremos chegar vamos colocar este eixo para representar a nossa posição e vamos representá la pela letra s normalmente usado por causa do space na física s representa cada posição do automóvel na estrada digamos que temos aqui um eixo t para indicar o tempo o t medido em horas o tempo medido em horas o espaço medida em quilômetros vamos localizar aqui o tempo aqui uma hora e depois duas horas esse desenho não está completamente na escala vou indicar aqui que existe um salto no eixo porque eu quero ter foco neste intervalo aqui temos o tempo valendo duas horas quando o tempo era de uma hora temos aqui a posição s de uma hora e quando o tempo o relógio marcava duas horas temos aqui o hsa posição em duas horas temos aqui então é se de um s de 2s em função de t e isso é o que nós sabemos sabemos que a variação do tempo é 2 - 1 que dá uma hora sabemos que a nossa variação na posição é de 130 quilômetros e ela pode ser descrita como delta essa igual sd 2 - sd1 e isso tem que ser igual a 130 quilômetros para facilitar estamos assumindo aqui uma estrada retilínea então a variação da posição a mesma coisa que o deslocamento de novo temos aqui que a variação do tempo é 2 - 1 e isso é igual a uma hora podemos dizer então que a inclinação da reta que liga estes dois pontos é de 130 quilômetros para cada hora e isso significa que a velocidade média entre estes dois pontos foi de 130 quilômetros por hora e isso pode ser usado pelas autoridades em um tribunal dizendo a seguinte ideia a sua velocidade média nesse intervalo foi de 130 quilômetros por hora então em algum momento desse intervalo de tempo e poderia ter sido dito algo como pelo teorema do valor médio você pode estar dirigindo há exatamente 130 quilômetros por hora e seria muito complicado provar o contrário porque a sua posição em função do tempo neste intervalo é contínua e diferenciável você não está sendo teletransportado de um lugar para outro a menos que tivesse um automóvel mágico e por ter uma velocidade bem definida em cada instante desse seu movimento a função da posição em relação ao tempo também a diferenciava eu então eu desafio qualquer pessoa a ligar estes dois pontos com o gráfico de uma função contínua sem que em algum momento a inclinação da reta tangente ao gráfico em algum ponto seja exatamente a mesma inclinação desta reta aqui é impossível o teorema do valor médio nos garante que isso é impossível vou até desenhar aqui para dar uma idéia vamos supor que neste ponto eu estivesse parado para pagar o pedágio então eu começo a percorrer a rodovia com uma velocidade menor do que a minha velocidade média e vou acelerando o automóvel a inclinação da reta tangente ao gráfico em cada ponto vai se modificando e para que eu possa chegar lá no outro ponto no mesmo horário eu tenho que acelerar e ultrapassar o valor da velocidade média para depois desacelerar e parar lá e o teorema do valor médio nos dizer exatamente que se você tem uma função continua neste intervalo fechado diferenciável aqui no intervalo aberto existe pelo menos um ponto se no intervalo aberto em que a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função é a mesma inclinação da reta secante ao gráfico que passa pelos dois pontos que limitam o intervalo neste ponto aqui parece que temos exatamente a mesma inclinação da reta tangente que a reta secante e aqui poderia ser o tempo indicado por ser digamos que em torno de uma hora e 15 minutos ou seja o teorema do valor médio diz que a derivada de s no pontos e é exatamente igual a esta velocidade média esta variação média e neste caso seria de 130 quilômetros por hora observe aqui neste outro ponto também parece que poderíamos ter a inclinação da reta tangente ao gráfico com a mesma inclinação da reta indicando a velocidade média espero ter esclarecido um pouco mais até o próximo vídeo