Justificativa com o teorema do valor médio: equação

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos resolver um exercício sobre o teorema do valor médio esse exercício diz o seguinte seja gente x = 1 sobre x podemos usar o teorema do valor médio para dizer que a equação gelinho de x = 1 sobre 2 tem uma solução onde X é maior que menos um e menor que 2 em caso afirmativo Escreva uma justificativa Ok eu acho legal você para usar esse vídeo aqui tentar fazer isso sozinho ou sozinha e aí fez Vamos fazer juntos agora bem a chave para usar o teorema do valor médio mesmo antes de você pensar em usá-lo é você ter que ter certeza que a função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto esse intervalo aqui é o intervalo aberto então o o diabo incluir os pontos finais Mas você pode perceber imediatamente que ambos os intervalos contém x igual a zero e se x = 0 a função a indefinida se a função é indefinida em um ponto nesse intervalo a função não vai ser continuou diferenciável nesse ponto então a resposta é não porque a função apresentada não é continuar ou diferenciável ao longo do intervalo bem vamos fazer a segunda parte aqui agora podemos usar o teorema do valor médio para dizer que é um valor ser tal que G linha de ser igual a menos 1 sobre 2 em que ser seja maior que 1 e menor que 2 em caso afirmativo Escreva uma justificativa tem novamente pausa esse vídeo e tem que fazer isso sozinho ou sozinha Ok vamos fazer aqui agora bem aqui nessa situação entre um e dois tanto na intervalo aberto quanto no intervalo fechado temos uma o racional e uma função racional vai ser curtindo aí diferenciável em cada ponto de seu domínio e seu domínio contém completamente esse intervalo aberto e fechado outra forma de pensar sobre isso é que cada o ponto desse intervalo aqui tanto aberto quanto fechado está no domínio então podemos escrever aqui gdx é uma função racional o que nos permite saber que ela é contínua e diferenciável em cada ponto de seu domínio o intervalo fechado entre um e dois está no domínio agora vamos calcular aqui a taxa de variação média entre um e dois essa taxa de variação média = gd2 - GD 1 sobre 2 menos 1 isso aqui é igual a meio menos um sobre um que é igual a menos meio aí vamos continuar escrevendo aqui portanto e pelo teorema do valor médio deve haver um cê onde se a maior q e menor q 2mg linha descer é igual a taxa de variação média que é igual a menos 1 sobre 2 e terminamos então podemos colocar um sim bem grande aqui e essa é a nossa justificativa enfim eu espero que você tenha compreendido direitinho tudo o que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima