Justificativa com o teorema do valor médio: tabela

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um exercício sobre o teorema do valor médio. Esse exercício diz o seguinte: a tabela fornece valores selecionados da função diferenciável f. Aqui estão esses valores. Podemos usar o teorema do valor médio para dizer que há um valor c tal que f'(c) é igual a 5 e que c está entre 4 e 6? Se sim, escreva uma justificativa. É importante que você fique atento para entender o teorema do valor médio. Nós precisamos ter uma função diferenciável no intervalo aberto e contínua no intervalo fechado. Parece que temos isso aqui, porque se a função é diferenciável ao longo de um intervalo, ela é definitivamente contínua durante esse intervalo. Aqui está falando que a função f é diferenciável e não tem nenhuma restrição quanto ao intervalo. Então eu acho que ela é diferenciável também em qualquer intervalo. Agora a próxima parte: se essa condição foi atendida, então a inclinação da reta secante entre os pontos (4, f(4)) e (6, f(6)) terá pelo menos um ponto entre 4 e 6 que terá uma derivada que é igual à inclinação da reta secante. Sendo assim, vamos descobrir qual é a inclinação da reta secante entre (4, f(4)) e (6, f(6)). Se for igual a 5, então poderemos usar o teorema do valor médio. Se não for igual a 5, então o teorema do valor médio não se aplicará. Vamos fazer esse teste, então. (f(6) menos f(4)) sobre (6 menos 4) é igual a (7 menos 3) sobre 2, que é igual a 2. Portanto 2 não é igual a 5, e sendo assim o teorema do valor médio não se aplica. Ah, é legal colocar um ponto de exclamação aqui para dar uma ênfase nessa parte. Agora vamos fazer a próxima parte da questão. Podemos usar o teorema do valor médio para dizer que a equação f'(x) igual a 1 negativo tem solução no intervalo que vai de zero a 2? Se sim, escreva uma justificativa. Vamos ver isso. Vamos calcular a inclinação da reta secante. Temos (f(2) menos f(0)) sobre (2 menos zero) e isso é igual a (2 negativo menos zero), tudo isso sobre 2. Isso é igual a -2 sobre 2, que é igual a -1. Isso é ótimo. Não se esqueça que aqui também atendemos a condição de continuidade e a condição de diferenciabilidade. Assim podemos escrever isso aqui também. Como f é geralmente diferenciável, a função será diferenciável e contínua no intervalo de zero a 2. Eu vou colocar aqui no intervalo fechado, OK? Não se esqueça que é preciso apenas ser diferenciável no intervalo aberto, mas é ainda melhor ser diferenciável no intervalo fechado, porque a função tem que ser contínua no intervalo fechado. Ah sim, como f é geralmente diferenciável, ela será diferenciável e contínua no intervalo entre zero e 2. Continuando aqui, então o teorema do valor médio nos diz que existe um x nesse intervalo de zero a 2 de tal modo que f'(x) é igual à inclinação dessa reta secante. Podemos dizer também que a taxa de variação média é igual a 1 negativo. Então vamos responder que sim. Isso aqui é a minha justificativa. Esse valor é a inclinação da reta secante ou a taxa de variação média. Uma vez que f geralmente é diferenciável, será diferenciável e contínua durante o intervalo fechado. Então o teorema do valor médio nos diz que existe um x nesse intervalo de forma que f'(x) é igual a 1 negativo. Pronto! Terminamos. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!